Energia posseduta da un sistema come conseguenza della sua posizione in un campo di forze conservativo. Ad esempio, una palla sollevata da terra possiede energia potenziale di tipo gravitazionale perché è sottoposta all'effetto del campo gravitazionale terrestre; il valore dell'energia potenziale dipende in questo caso dall'altezza della palla rispetto al suolo.

Un elastico teso è dotato di energia potenziale elastica, e una carica elettrica posta in un campo elettrico di energia potenziale elettrostatica. Per dotare un sistema di energia potenziale bisogna compiere un lavoro, infatti è necessario uno sforzo per sollevare una palla da terra, per allungare un elastico, o avvicinare due cariche dello stesso segno. La quantità di energia potenziale che un sistema acquista è esattamente uguale al lavoro speso per portare il sistema nella condizione finale. Nei campi di forze conservativi (sistemi in cui il lavoro è funzione solo delle coordinate dei punti iniziale e finale e non della traiettoria seguita) il principio di conservazione dell'energia, principio per cui un posto sottoposto alle sole forze esercitate da un campo conservativo l'energia meccanica totale (data dalla somma dell'energia cinetica e quella potenziale) resta costante, implica che la somma dell'energia potenziale e dell'energia cinetica sia costante durante l'evoluzione dinamica. Ad esempio, nel caso di una palla che cade da

un'altezza h dal suolo, l'energia potenziale si trasforma in energia cinetica durante il moto (di caduta libera); quando la palla raggiunge il suolo, tutta l'energia potenziale è trasformata in energia cinetica.

Se lanciamo un oggetto verso l'alto il lavoro svolto su di lui dalla forza peso, è negativo

perché sottrae energia dalla quantità totale di energia cinetica.

Tale energia sottratta all'energia cinetica, viene trasferita all'energia potenziale; Nel nostro sistema possiamo notare che l'oggetto diminuisce man mano la sua velocità fino ad arretsarsi.Subito dopo comincia a ricadere a causa del suo peso, e l'energia potenziale si trasforma in energia cinetica. Sia per la salita che per la discesa, la differenza di enregia potenziale è definita come l'opposto del lavoro svolto dalla forza peso sul nostro oggetto.

U = Uf - Ui = -L

Un elastico teso possiede energia, come una lamina d'acciaio piegata od una palla di gomma schiacciata. In questi casi pero la possibilità di fare lavoro non discende da una posizione o da una velocità, bensì dallo stato di deformazione elastica in cui i corpi si trovano; si parla quindi d'energia potenziale elastica. Un'applicazione pratica d'energia potenziale elastica è l'arco.

Tendendo l'arco verticale, si accumula energia potenziale elastica. Al rilascio quest'energia si muta in cinetica (corda-freccia).All'uscita dall'arco la freccia possiede energia cinetica per vincere l'attrazione gravitazionale. Essa viene spesa nella salita per guadagnare energia potenziale gravitazionale. Quando la freccia si ferma, l'E. cinetica è = 0, l'E. potenziale è massima. Durante la discesa avviene il contrario: l'E. potenziale gravitazionale si trasforma in E.cinetica ed al momento del contatto con il terreno si trasforma a sua volta in energia termica attraverso le forze d'attrito che si sviluppano durante la penetrazione nel terreno.

Il motore dell'arco è il sistema dei flettenti. Il flettente è composto di tre strati:

A) faccia posteriore: è lo strato sottoposto a tensione durante la trazione;

B) il cuore: è lo strato interno che fa da interfaccia tra i due esterni e che impedisce il reciproco scivolamento;

C) faccia anteriore: è lo strato sottoposto a compressione durante la trazione.

Questi strati non sono mai d'ugual spessore. La forza di trazione dell'arco è generata dalle forze di taglio che si sviluppano all'interno del sandwich. Lo strato interno ha la maggior responsabilità nella definizione del carico dell'arco, in quanto il suo spessore modifica la distanza tra i due strati attivi, e di conseguenza incrementa con il suo aumentare, le forze di taglio summenzionate.Lo strato anteriore sarà sottoposto a compressione, lo strato posteriore sarà sottoposto a tensione, lo strato intermedio 'medierà' le due forze contrapposte. Queste forze altamente distruttive vengono bilanciate e ben distribuite nel flettente dell'arco; e sono ovviamente le responsabili della propulsione della freccia. Le proprietà di resilienza del materiale fanno sì che il flettente ritorni alla posizione iniziale dopo essere stato piegato, cioè dopo aver rilasciato la corda. Nei vecchi archi di solo legno, la resilienza era molto bassa. Come risultato, le perdite elastiche nel ritorno del flettente contribuivano agli scarsi rendimenti via via sempre maggiori con il passare del tempo. Il legno può tollerare stress di 56 kg/cm2, mentre i moderni materiali che costituiscono gli archi compositi d'oggi possono tollerare stress in eccesso mille volte superiore. La loro perdita elastica al ritorno, o resilienza è praticamente nulla anche dopo anni di sfruttamento. Dal punto di vista della resilienza, quindi si può affermare che con i moderni materiali l'energia elastica viene conservata, nell'ordine del 95% (98%).

L'energia elastica viene così trasferita dalla corda alla freccia trasformandosi in energia cinetica. Naturalmente questo valore di energia (di movimento) diminuisce a causa della resistenza dell'aria, e per inerzia del materiale (cioè il suo peso). Frizioni tra freccia, resistenza con l'aria fanno si che l'energia cinetica della freccia sia, all'uscita dell'arco, ancora inferiore, dall'85% al 93%, dell'energia potenziale elastica immagazzinata durante la trazione. Vediamo ora tutti i tipi di energia coinvolti nell'azione di tendere l'arco. Abbiamo spiegato il meccanismo che ci permette di sviluppare la nostra energia potenziale elastica: Il concetto di 'energia potenziale', in generale è interpretabile come energia 'in potenza' a disposizione che può essere fruita, ed è in funzione della posizione. una molla compressa possiede un'energia potenziale elastica. Se viene liberato il meccanismo che la blocca, ritorna con uno scatto alla sua conurazione energetica minima, cioè distesa. Durante lo scatto, possiede energia cinetica, anche qui avviene una trasformazione di energia. Un'azione di tiro coinvolge tre tipi di energia diversa; vediamo quali. Il lavoro compiuto dall'arciere nel tendere l'arco si trasforma in energia potenziale elastica accumulata dalle fibre della struttura dei flettenti. Dal momento che avviene il rilascio della corda, questa energia si trasforma in energia cinetica, cioè di movimento, della corda-freccia. Appena la freccia lascia la corda, essa vince la sua energia potenziale gravitazionale a spese della sua energia cinetica. Se non esistessero attriti, l'energia dell'arciere verrebbe trasferita attraverso questi passaggi senza perdite. Così non avviene; la resistenza dell'aria, ed altre forme di attrito riducono l'energia risultante. La lunghezza dell'arco influenza ovviamente la sua velocità di chiusura. Per essere più precisi, è il rapporto tra la parte inerte, cioè l'impugnatura rigida, ed i flettenti ad essere responsabile delle differenze di velocità tra archi di uguale carico e diversa lunghezza. Un arco corto è generalmente più veloce. La maggior inerzia dei flettenti, nell'arco lungo, e la loro minore corsa implica una minore velocità di uscita della freccia. A parità di lunghezza d'arco, una lunghezza maggiore dei flettenti implica minore stress agli stessi, ma anche minore energia accumulata. Un'impugnatura più lunga, e flettenti corti, implicano allo stesso allungo una maggiore 'piegatura' e quindi una maggiore energia elastica accumulata. É il giusto bilanciamento di tutti questi fattori a fare sì che un arco sia veloce e non abbia troppe vibrazioni. Ecco perché un arco lungo generalmente risulta più stabile di uno corto, ma anche meno veloce.

L'energia potenziale gravitazionale è l'energia posseduta dai corpi come conseguenza della loro posizione all'interno del campo gravitazionale.

La legge di gravitazione universale, formulata da Isaac Newton nel 1684, afferma che l'attrazione gravitazionale tra due corpi è direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro reciproca distanza. L'espressione algebrica di questa legge è:

dove F è la forza gravitazionale, M e m le masse dei due corpi, R la loro mutua distanza, G la costante gravitazionale. Il valore attualmente riconosciuto è 6,67 × 10^-l1 N m kg che rappresenta l'intensità della forza di interazione tra due corpi sferici, ciascuno di massa pari a 1 kg e posti a distanza di 1 m l'uno dall'altro. Newton intuì che la caduta dei gravi e il moto della Luna intorno alla Terra, sono due aspetti dello stesso fenomeno spiegabili con la stessa teoria.

La Terra esercita sui corpi una forza attrattiva che fa si che qualunque corpo in caduta libera accelleri.Un corpo lanciato orizzontalmente è soggetto alla stessa forza e quindi accelera verso il basso come quando cade in direzione verticale.

Maggiore è la velocità a cui viene lanciato maggiore è il tempo che impiegherà a toccare il suolo.

Newton immaginò che la traiettoria di un oggetto lanciato ad altissima velocità si sarebbe curvata solo a grande distanza dalla superficie terrestre, l'oggetto avrebbe raggiunto un'orbita circolare intorno alla Terra.

Velocità di lancio ancora maggiori, avrebbero portato l'oggetto su un'orbita ellittica.Gli scienziati applicano oggi la legge di newton per calcolare con grande accuratezza la traiettoria delle sonde spaziali.

Consideriamo l'energia potenziale gravitazionale tra due corpi di massa M ed m posti ad una distanza R l'uno dall'altro. Prendiamo come conurazione di riferimento U_MAX = 0 (quella corrispondente a distanza infinita). Come possiamo intuire dalla formula:

man mano che la distanza diminuisce l'energia aumenta in modulo e assume valori negativi. Nella situazione in cui M >> m si dice che è il corpo m a possedere energia potenziale in quanto M per effetto di m acquista un'energia cinetica pressocche nulla.

nel caso della ura sopra, possiamo osservare che la forza è diretta verso il centro della Terra mentre dx è diretta nel verso opposto, per cui: F(x)dx= cos(180°)dx= -F(x)dx.

Ad F si sostituisce la formula della forza gravitazionale. Dato che l'energia U si ricava dallavoro svolto dal sistema (U= -L) che risulta:

si ottiene in fine:

Riferendosi ai corpi che si trovano nel campo gravitazionale terrestre notiamo che: per dotare il corpo di energia potenziale è necessario compiere un lavoro, infatti occorre uno sforzo per sollevare il corpo da terra.

Per esempio, immaginiamo di avere un carico che deve essere sollevato, esso è soggetto all'effetto del campo gravitazionale terrestre, quindi possiede energia potenziale. Se solleviamo il carico da un punto x₀ ad un punto x₁, subisce il lavoro svolto dal suo peso mg. Sapendo che il lavoro si ricava come integrale della forza peso e che la differenza di energia potenziale è l'oppposto di tale lavoro , si ha:

Prima di definire la conservazione dell'energia, è necessario introdurre alcune grandezze fisiche adoperate per lo studio della stessa, che sono:

L'energia cinetica (K) associata al moto di una particella di massa m e velocità v è:

Se il lavoro compiuto su o da un corpo, ha come unico effetto la variazione di energia cinetica (), la variazione, sarà:

 (con f ed i, si sono identificati gli istanti finale ed iniziale in cui vi è stata la variazione di energia cinetica).

Una forza si dice conservativa, quando il lavoro che compie su di una particella, che si muove tra due punti, non dipende dal percorso seguito; la forza gravitazionale (peso,) e la forza elastica (), sono forze conservative.

- Quando all'interno di un sistema, una forza conservativa compie un lavoro(L) su una particella, la variazione di energia potenziale () del sistema sarà:

, se la particella si sposta dal punto  al punto , la sua variazione di energia potenziale sarà: , se ci troviamo nel caso di una forza peso, la variazione di energia sarà: , se posizioniamo il nostro sistema di riferimento in , la relativa energia potenziale sarà: e di conseguenza l'energia potenziale del sistema sarà: .

Vi è un'altra grandezza fisica chiamata energia meccanica (E) che è la somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale, cioè:

.

Quando all'interno di un sistema è compiuto lavoro da parte di una forza conservatrice, essa trasferisce energia dall'energia cinetica del corpo e l'energia potenziale del sistema.

Ricordando che :

 e che , mettendole in relazione otteniamo che:

in altre parole una di queste due forme di energia cresce in ugual misura dell'altra.

Se sostituiamo le variazioni di energie ( e ) con le loro rispettive componenti iniziali e finali, otteniamo:

risolvendo quest'equazione:

come si può osservare da quest'equazione, i due membri rappresentano, rispettivamente, l'energia meccanica finale ed iniziale che sono tra di loro uguali. Quindi possiamo affermare che quando in un sistema agiscono solo forze conservative, l'energia cinetica e l'energia potenziale possono variare, ma la loro somma, l'energia meccanica, resta costante. Questo risultato prende il nome di "Principio di Conservazione dell'Energia Meccanica".

Ritornando all'equazione:

equivalente all'equazione:

possiamo scrivere:

Nell'oscillazione di un pendolo, l'energia si trasferisce continuamente da quella cinetica a quella potenziale e viceversa, mantenendo costante la loro somma, cioè mantenendo costante l'energia meccanica.

Consideriamo il pendolo che si muove a velocità iniziale :

e poniamo in questo istante il nostro punto di riferimento  e di conseguenza , in questo istante abbiamo che l'energia cinetica vale:

e l'energia meccanica vale:

Ora se consideriamo un altro istante in cui il pendolo raggiunge la sua quota massima:

avremo che in questo istante, poiché , la sua energia cinetica sarà  e di conseguenza l'energia meccanica vale:

 ma poiché per il principio di conservazione dell'energia:

avremo che la variazione di energia meccanica sarà: , da cui:  quindi:

Il pendolo semplice è costituito da un punto materiale P che si muove di moto alterno senza incontrare alcuna resistenza esterna, lungo un arco di circonferenza di centro C, disposto in un piano verticale.

Si tratta, come è evidente, di uno schema pura­mente ideale, che in pratica si può cercare di rea­lizzare ammettendo che il punto P sia un corpo (ad esempio una sferetta) di dimensioni molto pic­cole rispetto al raggio r dell'arco che deve percor­rere. In secondo luogo lo stesso arco, traiettoria obbligata del punto materiale, può pensarsi realizzato lungo la curva direttrice di una superficie cilindrica di asse C (ad esempio la superficie interna di un tubo), oppure sospendendo il punto materiale per mezzo di un filo perfettamente flessibile, inestensibile e senza peso, al punto C.

Consideriamo la seconda di queste circostanze.

Le forze agenti sul pendolo sono l'attrazione gravitazionale della Terra mg e la tensione T della corda che lo sostiene. In assenza di attriti, non ci sono forze dissipative per cui è possibile definire un'energia potenziale. L'energia meccanica totale rimarrà costante.

Se la corda non si spezza, il moto del pendolo è sempre perpendicolare alla direzione della tensione della corda, che pertanto non compie lavoro. Se il pendolo è spostato di un certo angolo e poi abbandonato a se stesso, soltanto la forza peso compie lavoro sulla particella. Poiché tale forza è conservativa, possiamo usare il teorema di conservazione dell'energia meccanica in due dimensioni:

½ mv² + U(x,y) = E

L'energia potenziale gravitazionale è, per il caso unidimensionale U(y)=mgy. Dato che la forza di gravità è diretta secondo l'asse y, essa non farà lavoro in virtù del movimento secondo l'asse x. Così quando il pendolo si muove, l'energia potenziale gravitazionale dipenderà solo dalla coordinata y; U(x,y) sarà proprio uguale a mgy, assumendo che y sia zero nel punto più basso dell'arco. Avremo allora:

½ mv² + mgy = E

La particella è spostata di un angolo q prima di essere lasciata libera e la sua energia potenziale è mgh all'altezza y=h rispetto al punto di riferimento. Nel momento in cui lasciamo libero il pendolo (q q ) la velocità e l'energia cinetica sono nulle, per cui l'energia potenziale uguaglia l'energia meccanica totale. Quindi

E=mgh     e ½ mv² + mgy = mgh

cioè

½ mv² = mg(h - y) da cui v² = 2g(h - y)

Dalla ura 2 si ricava:

h = r - rcosq

y = r - rcosq

Dunque

v² = 2g(r - rcosq - r + r cosq) = 2gr(cosq - cosq

Ora, essendo v = wr, si ottiene:

w r² = 2gr(cosq - cosq da cui

w =(2g/r) (cosq - cosq

= (2g/r) ((1 - sen²q)^1/2- (1 - sen²q₀

= (2g/r) (- ½q q

In quest'ultimo passaggio si è tenuto conto che per q 1 senq q e che (1 + q)ⁿ 1+nq

Semplificando: w (g/r) (q q

Ma essendo w=dq/dt si ottiene

dq/dt =   (g/r) (q q da cui

dq

= dt

(g/r) (q q

Integrando e raggruppando opportunamente

dq

= g/r dt = wt + cost

(q q

(con w= g/r )

Dall'analisi matematica si ha:

arcsen(q q wt + cost) da cui q q sen(wt + f

dove la costante f (da determinarsi in base alle condizioni iniziali), ingloba anche l'ambiguità nel segno. Questa è l'equazione del moto: la posi­zione del punto P è infatti nota se si conosce q.

Se il tempo t nell'equazione del moto viene ac­cresciuto di 2p w, la funzione diviene:

q(t) = q sen[w(t + 2p w f q sen(wt + 2p f

= q sen(wt + f

cioè la funzione si ripete identica dopo un tempo 2p w periodo). Le piccole oscillazioni sono pertanto iso­crone, cioè, hanno tutte la stessa durata.

Al concetto di calore si può giungere dall'accurata analisi di alcuni fatti sperimentali: consideriamo due corpi A e B, rispettivamente a temperatura T_A e T_B; se li mettiamo a contatto, il sistema risultante raggiunge dopo un certo tempo una temperatura d'equilibrio T_C intermedia tra T_A e T_B. Il risultato è dunque una diminuzione della temperatura del corpo a temperatura iniziale più alta e un aumento di temperatura del corpo a temperatura iniziale più bassa. Possiamo affermare che è passato "qualcosa" da un corpo all'altro, una volta messi a contatto. Questo "qualcosa" che tende a portare in equilibrio il sistema dei due corpi è il calore.

ura 1    mulinello di Joule

Consideriamo ora la (ura 1) in cui è illustrato il mulinello di Joule che è costituito da un recipiente a pareti perfettamente impermeabili al calore, dov'è contenuta una massa d'acqua nella quale è immerso un albero a palette posto in rotazione da un peso fissato all'estremo libero di una fune scorrevole col minimo attrito su una puleggia.Il movimento del peso produce un aumento di temperatura dell'acqua: possiamo quindi affermare che la variazione di temperatura dell'acqua è associata ad un lavoro meccanico compiuto dall'ambiente esterno sul sistema.

ura 2

Ora invece come nella (ura2) mettiamo sempre in pareti adiatermane una vasca con la stessa quantità di acqua ed una lampadina accesa, possiamo notare che la temperatura dell'acqua è aumentata, ma questa volta senza che si sia compiuto alcun lavoro meccanico, ma solo per il passaggio di calore dalla lampadina all'acqua. Il fatto che si sia ottenuto lo steso risultato fornendo calore o compiendo lavoro meccanico ci può far dedurre che il lavoro e il calore siano due forme equivalenti di energia. Il mulinello di Joule permette di determinare il rapporto esistente tra il lavoro meccanico compiuto dal peso che scende e la quantità di calore ricevuta dall'acqua che si è riscaldata. Il risultato cui si giunge è che l'unita di

quantità di calore, la caloria, è legata all'unità di lavoro, il joule, dalla relazione:

1 cal = 4,184 J

Consideriamo un generico sistema termodinamico sottoposto ad una trasformazione AB tra due stati di equilibrio. Supponiamo di portare il sistema dallo stato A allo stato B in tre modi diversi, (ura3), misuriamo nei tre casi la quantità di calore scambiata dal sistema e troveremo Q₁ diverso da Q₂ diverso da Q₃; successivamente misuriamo il lavoro scambiato dal sistema nelle tre trasformazioni e troveremo che L₁ diverso da L₂ diverso da L₃.

ura 3

Ciò conferma che sia il calore che il lavoro dipendono dal modo in cui si è raggiunto lo stato del sistema, se ora calcoliamo le seguenti quantità Q₁-L₁, Q₂-L₂, Q₃-L₃, troviamo che tali quantità sono uguali tra loro: ciò indica che esiste una grandezza che è funzione dello stato del sistema e il cui valore è indipendente dal modo in cui il sistema ha raggiunto tale stato. In termodinamica tale grandezza in quanto legata in qualche modo alla struttura interna del sistema, prende il nome di energia interna U.

Quindi possiamo scrivere che

Q - L = U(B) - U(A) = delta U (1)

o anche

Q = L + delta U. (2)

La (2) costituisce l'enunciato del primo principio della termodinamica: Per un sistema in quiete macrofisica la quantità di calore scambiata con l'esterno uguaglia la somma del lavoro compiuto e della corrispondente variazione di energia interna.

Tale enunciato non esprime altro che il principio di conservazione dell'energia in presenza di forze dissipative che liberano calore per attrito.

Nella vita di tutti i giorni è facile trovare esempi di forme di energia che vengono dissipate in calore, un esempio su tutti ci può essere fornito da un'autovettura, infatti, in quest'ultima l'energia calorifica del combustibile è trasformata in energia cinetica del veicolo, ma a causa dei vari attriti presenti in un'autovettura: come ad esempio pneumatici-terreno e pistone-cilindro una parte dell'energia cinetica viene dissipata in calore.

Purtroppo non è possibile recuperare dal calore prodotto tutta quanta l'energia iniziale per produrre lavoro, e a causa di questo si dice che il calore è una forma di energia degradata.

Una forza è conservativa se l'energia cinetica di una particella su cui essa agisce torna ad assumere il suo valore iniziale dopo ogni qualsiasi percorso chiuso.

Una forza è non conservativa se l'energia cinetica di una particella su cui essa agisce cambia dopo almeno un percorso chiuso.

In questa definizione si assume che la forza in questione sia la sola che compia lavora sul punto materiale. Se agiscono più forze assumiamo che sia possibile analizzare separatamente gli effetti riconducibili a ciascuna di esse. Possiamo definire la forza conservativa da un altro punto di vista, quello del lavoro compiuto dalla forza sul punto materiale.

Una forza è conservativa se il lavoro compiuto dalla forza su un punto materiale che si muove su un qualsiasi percorso chiuso è nullo.

Una forza è non conservativa se il lavoro fatto dalla forza su un punto materiale che si muove su un qualsiasi percorso chiuso è non nullo.

Un ultima osservazione: per il teorema dell'energia cinetica questo secondo modo di definire le forze conservative e non conservative è pienamente equivalente alla prima definizione. Se non c'è variazione di energia cinetica di un punto materiale mobile su un qualsiasi percorso chiuso allora la variazione di energia cinetica Dk=0 e dall'equazione Dk=Lm , Lm=0, e la forza risultante deve essere conservativa (Dk=variazione di energia cinetica; Lm=lavoro del sistema). Allo stesso modo se Dk <> 0 il lavoro Lm <> 0 e almeno un a delle forze agenti è non conservativa.

Presenteremo un esempio per ciascuno dei due casi.

Esempio 1 Molla

Prendiamo in considerazione un sistema formato da un blocco e da una molla inizialmente a riposo X=0,

ura 1

applicando al blocco una forza F la molla compierà un lavoro negativo -Lm1 sul blocco diminuendo la sua energia cinetica e trasferendo energia all'energia potenziale elastica della molla.

ura 2

Il blocco si muoverà fino a quando l'energia cinetica del blocco non si esaurisce.

A causa della forza elastica della molla, il blocco ritornerà nella sua posizione iniziale per effetto del lavoro positivo Lm2 che la molla compie sul blocco trasferendo la sua energia cinetica all'energia potenziale del sistema.

ura3

Ogni qual volta che in un sistema risulta verificata la seguente uguaglianza:

Lm-l=Lm2

quindi la forza del sistema risulta essere conservativa.

Esempio 2 Attrito

L'esempio della molla è stato spiegato senza prendere in considerazione tutte le possibili forze che agiscono sul sistema. Prendiamo in considerazione ora il fatto che sul nostro sistema può agire una forza d'attrito dinamica fra il pavimento e il blocco. Questa forza rallenterà il movimento del blocco trasferendo energia dalla sua energia cinetica all'energia termica del sistema. Ma sappiamo che l'energia termica non può più essere invertita in energia cinetica e quindi risulterà

Lm1 <> Lm2

Quindi la forza d'attrito risulterà essere non conservativa.