risoluzione

SISTEMI DI n EQUAZIONI IN n INCOGNITE: n n

Regola di Cramer : Se il det (A) esiste una sola soluzione (x,y,z)

x = y = z =

SISTEMI DI m EQUAZIONI IN n INCOGNITE m n

Regola di Rouchè-Capelli:

il sistema ammette soluzioni (una o infinite) se il rango della matrice dei coefficienti e il rango di quella completa sono uguali.

Le soluzioni sono ^n-p

discussione

Stabilire le condizioni cui debbono soddisfare uno o più parametri affinchè il sistema ammetta :

un'unica soluzione

o infinite soluzioni

o nessuna soluzione.

Dobbiamo in ogni caso applicare il teorema di Rouchè-Capelli anche se con diverse sfumature.

Partiamo da due esempi

SISTEMI DI n EQUAZIONI IN n INCOGNITE: n n

ad esempio

det(A)== ab+a+ab-b-a³-b = 2ab-2b+a-a³-b = 2b (a-l) -a (a²-l) = (a-l) (ab - a(a+1) ) = (a-l) (2b - a² - a)

poniamolo uguale a zero: (a-l) (2b - a² - a) = 0 se a = 1

per valori diversi il sistema avrà un'unica soluzione data dalla regola di Cramer:

x = y = z =

Vediamo cosa accade quando det(A)=0 , per tali valori il sistema avrà infinite soluzioni o nessuna soluzione.

I casi da analizzare sono tre:

a=1 e b (in questo caso b

Applichiamo il teorema di Rouchè-Capelli

A_c = A_i=

il rango di ciascuna è 2 T esistono ^n-p = soluzioni

a=1 e b=

(in questo caso b=1)

la matrice completa e quella incompleta hanno rango 1

T esistono ^n-p = soluzioni

a 1 e b=

il rango della matrice completa è diverso da quello della matrice incompleta

T non esistono soluzioni

SISTEMI DI m EQUAZIONI IN n INCOGNITE m n

ad esempio le due matrici : A_i= e quella completa A_c=

devono avere lo stesso rango. Il rango di A_i è r =2; affinché quello di A_c sia 2 è necessario che il det(A_c) = 0;

calcolandolo si ottiene k=1/2 T per questo valore di k le matrici hanno lo stesso rango T il sistema ammette soluzione.

Per trovarle sostituiamo al sistema, limitandoci alle equazioni corrispondenti al minore diverso da zero,ottieniamo:

le cui soluzioni sono: x=1 y=-l/2