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SVILUPPO IN SERIE DELLA MATRICE INVERSA

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SVILUPPO IN SERIE DELLA MATRICE INVERSA

P A =  I  +  P A  +  p A 2  +  p A 3 ……

converge perché :

1>  a ij  >= 0    Þ       1>= 1- aij >0



   

                               -l<-aij< 0     i ¹ j

Analogo alla successione

a0  +  a1  +  a2  +  a3   ………….

che converge se 0 < a < 1 al numero

                 1

       ____________    =     (  1 – a )  -l

1       -  a

CONDIZIONE  DI RIPRODUCIBILITA’
(o condizione di Hawkins – Simon)

La matrice  [ 1- p a]  ammette l’inversa se

Det [ I – p  A ] ¹ 0

Condizione di riproducibilità

Det [1- p A ] > 0

Esempio:

                              é1- a 11        -a12     ù

Det [ I-A ]=  Det  ½                       ú

                              ë -a21        1- a 22  û

se          a12  =  a 22 = 0

Det   é  1     -a 12 ù

         ê                ÷  =       1- a 12 * a 21  >  0

         ë -a 21     1 û

implica che si produce più di quanto si consuma quindi il sistema è riproducibile.


SISTEMA INPUT – OUTPUT

 

                  [ P a ij ]  p X  +  p  Z  =    p X

                  [ I a ij ]  p X  +  I  Z  =    I X

                      ^

                  [ Y a ]  p X  = Y

                  p a ij  =  p x ij

                              p X j

 

                           I a ij   =  I x ij

                                             p X j

                           Y a j   =  VAj

                                              p X j


Applicazione dell’analisi input – output :

1)Determinazione dei livelli di produzione data la   

    domanda finale

     2)Utilizzo a scopo descrittivo del sistema economico.

 

DETERMINAZIONE LIVELLO DI PRODUZIONE:

                         P X  =   p A   p Z

DETERMINAZIONE LIVELLO IMPORTAZIONI:

                          I X = I a   p A   p Z   +  I Z

                 

                          ( I X  =   I a  p X  +  I Z  )

DETERMINAZIONE VALORE AGGIUNTO

Y A  P X   =  pm   Y

       

               Y a p A p Z  =  pm  Y

In termini matriciali compatti:

1) Definiamo vettore delle risorse:

            R= é   P X  ù =   ép X 1  ù

                 ½      ÷     ½    ÷

                  ë    I X  û     ½ pX n  ½

         êIX1     ê

         ê…….ê

                                      ëIXn    û

2) Definiamo vettore della domanda finale rivolta

alle imprese interne e estere

Z =        é   p Z    ù     =   é  p Z 1  ù

              ê  ……  ê         ê  p Z n     ê

              ç   I Z     ê               ê    I Z 1    ê

              ë           û          ë   I Z n   û

3)  Utilizzando le diverse equazioni avremo

                 é p X  ù           é    p A       .       O    ù      é P Z  ù

                 ê    ê   =     ê…..……………..  ú      ê÷

                 ê         ê          ê    I a p A   .       I     ï     ê        ÷

                 ë I X   û           ë               .              û      ë i Z   û

    

                       R = B Z

Trasformazione dalla domanda finale alle risorse      necessarie per soddisfarla

Descrizione del sistema economico con input output:

specificità :      capacità di descrivere i rapporti

                         intersettoriali

·     Integrazione ( diretta )

·     Gerarchia

·     Attivazione    ( diretta + indiretta )

INTEGRAZIONE  (INDICI DI CHENERY – WATANABE)

·     A MONTE  ( tramite acquisti )

                    U j  =  p x . j

                              p X j

·     A VALLE  ( tramite le vendite )

                    W j  =  p x i.  

                              p X i

Permette di discriminare tra :

- attività di trasformazione primaria / secondaria   

  ( manifatturiera )

-        attività intermedie / finali

                                finali                      intermedie

                                      _                              _

                                w<w                                     w >w

                               manifatturiere  manifatturiere

manifatturiere         finali                   intermedie

           _

     u > u                     ( III )                    ( II )

primarie                  primarie             primarie

                               finali                   intermedie

            _

     u < u                                                    ( I )

                                                                  

1) GERARCHIA

          III       MANIFATTURIERE FINALI

          Ý

II        MANIFATTURIERE INTERMEDIE

Ý

I          PRIMARIE INTERMEDIE

TRIANGOLARIZZAZIONE    

Ma esistono circolarità ( mentre nella matrice triangolare il sistema è perfettamente lineare ) allora il sistema è triangolare a blocchi

ATTIVAZIONE

·     A MONTE :  concetto di settore chiave: 

                          i legami con il resto dell’economia sono 

                          massimi

                          p U . j   =     1     å i     p A ij

                                           n

                                                             _____________________

                                                      1      å i  å j    p A ij

                                                     n2

Þ capacità DIFFUSIVA

·     A VALLE :  sensibilità della domanda finale : dato un

                        aumento di produzione, come viene

                        assorbito ?

                         W j   =  ( p A  -  1 )  p Z j    -   p a j   Z i

Indica come l’impulso si differenzia tra “ usi finali “ e

“ usi intermedi “  dello stesso bene.

Applicazione empirica:

mio studio dal titolo:

Integrazione dei settori terziari e sviluppo del sistema produttivo pubblicato in:

Contributi all’analisi economica , Banca d’Italia n. 4,

Dicembre 1988

Lo scopo del lavoro è :

1)    vedere come è cambiata la struttura produttiva dopo lo

shock petrolifero

2) vedere come è cambiato l’uso dei servizi

3) vedere quali sono le cause della crescita dei servizi

Sistema di scomposizione:

                                               ^                    

VA S  =  N   A   Y

          ^

                              D VA S  = D N  *  A Y  +

                              

                                                ^

                            N  *  D  A * Y  +

                                 

                                                ^

                      N * A * D Y

                                














Altro caso:

Funzioni a elasticità di sostituzione variabile (VES)

Es.

Funzione di produzione trans-logaritmica.


Funzione flessibile, infatti   se:


Misurazione fattori in FP

-        valori deflazionati

-        attenzione: valori
 effettivi

        ( cioè corretti con grado utilizzo )

Es.

Lavoro     - meglio ore lavorate rispetto a numero di 

                   occupati (teste)

                 -  tenere conto delle diverse qualifiche e del

                    grado di istruzione

Capitale     - tenere conto del grado di utilizzo

                  - distinguere macchinari e costruzioni

Produttività

 

E’ il rapporto tra prodotto e fattori impiegati per produrlo.

Richiede di conoscere:

-        prodotto

-        fattori

-        processo di produzione

Occorre distinguere tra:

Produttività: rapporto tra prodotto e input, che varia al 

                     variare della tecnologia.

Efficienza:  migliore uso delle risorse, con tecnologia data.

Distinguiamo 3 concetti:

1)       Produttività parziale generica di un fattore.


Es.         

 

2) Produttività parziale specifica.

      ( non sull’output ma sulla quota di remunerazione )


Es.                                                  W= monte salari

                     

 

 

3)  Produttività totale dei fattori: rapporto tra output e

                                                    fattori impiegati.

Es.   



Produttività generica del lavoro:

Dove:

Qio= quantità prodotto i al tempo 0

Vi0= valore aggiunto per unità di prodotto i al tempo 0

                               (costante nel tempo)

Hi0= ore necessarie per produzione di i al tempo 0


Problema: - non spiega perché la produttività aumenta.                    

                  -  inoltre occorre tenere conto degli effetti di

                      composizione del lavoro.

   

Scomposizione della crescita ( Solow )

Progresso tecnico scorporato  o neutrale.

Y = A(t) F[K(+),L(+)]        generica.

                       A(t) : effetto del progresso tecnico



Se ipotizziamo che la funzione sia:

omogenea di grado 1 con prezzi dei fattori = loro produttività marginale




E quindi, esplicitando i tassi di crescita:


cioè il tasso di crescita del progresso tecnico può essere espresso come residuo (detto residuo di Solow) del tasso di crescita del prodotto meno il tasso di crescita ponderato dei fattori

Inoltre, in termini di due fattori (ovvero in termini di produttività del lavoro):

                   

                          y = A kb







        Residuo di Solow.

Misurazione del capitale.(G-T, cap 8)

2 concetti base:

 

1)    Misurazione dello stock di capitale (K)

                 

      à metodo dell’inventario permanente

2)    Misurazione del grado di utilizzo del capitale (U)

      à indagini dirette

     

      à metodo Wharton

     

      à metodo k/y

     

      à metodo Banca d’Inghilterra

     

   àà  Capitale effettivamente utilizzato = k*

                 

             

                         k*= u·k

Metodo di valutazione dello stock di capitale.

 Inventario permanente (Goldsmith)

 

-        Il capitale è dato dalla somma degli investimenti passati.

-  Bisogna tenere conto della distribuzione di capitale che                       

    avviene durante la produzione.

       ( logorio, à deprezzamento )

Es.

-        il capitale dura 6 anni.

  (dopo 6 anni viene completamente tolto della produzione).

-  il capitale si logora ogni anno in misura costante.

         ( ovvero 1/6 ogni anno)



 

In genere, se:

-        k è il numero di periodi cui dura il capitale.

-        la quota di ritiro è costante.


Ma esistono diversi metodi e differenti ipotesi sulle modalità di deterioramento del capitale.

In economia, si usa in genere ( nei modelli teorici semplici )

Il metodo di deprezzamento moltiplicativo costante.

Se  d~ = tasso di deprezzamento in %



Cosi che

 


Per semplicità   (1-d~) = d

           Anche per n grande.




 

Problema: anche i beni capitali molto lontani hanno un peso maggiore di zero ( anche se vicino a zero).

Cioè      dn It-n > 0  ( anche per n grande )

                                

Allora spesso si assume

 

                dn It-n = 0

oppure si assume un periodo i definito


Il tasso di deprezzamento e quindi la durata di vita dei beni cambia al variare dei beni.

In genere:

                costruzioni 35-80 anni

                macchinari 15-20 anni

                mezzi di trasporto 6-l0 anni

-        Problema dello “scrapping”:

in fase di cambiamento, parte dei prezzi l’ obsolescenza economica può essere più elevata

-        Obsolescenza tecnologica variabile in periodi


Procedura metodo inventario permanente:

1)   Classificazione spesa capitale per classi omogenee.

2) Valutazione della serie storica della spesa per beni

     d’ investimento nella classe.

3)  Deflazione della serie per ottenerla a prezzi costanti.

4)  Per ogni “vintage” si valuta il deprezzamento.

 Se il deprezzamento è a quota costante, si può calcolare

 sulle serie aggregate.

5)  Calcolo capitale netto per classe.

6)  Aggregazione.

 

Calcolo grado di utilizzo:

grado di utilizzazione degli impianti produttivi

disponibili.

2 concetti:

-        Capacità produttiva tecnica = l’ ammontare di produzione

                                                    che può essere raggiunto

                                                    utilizzando il macchinario

                                                    al suo massimo (problemi:

                                                    il livello desiderabile di

                                                    sfrutto).

-        Capacità produttiva economica = l’ ammontare di produ-

                                                          zione raggiungibile e

                                                          economicamente profit-

                                                          tabile (perché: costi

                                                          marginali cresciuti).

Indice di capacità (o grado di utilizzo):

A)  


Tecnico:


B) Economico:

                  

E   


     

perché:

           capacità tecnica ³ capacità economica.

Rimodulando:



E

Inoltre:


Es.:       Y*=f(KT o KE)      prodotto potenziale

                                         

             Y=f(K)                  prodotto effettivo

Metodo della Wharton School:

ipotesi:

-        la capacità produttiva è massima nei

picchi produttivi;

-        il grado di utilizzo varia in misura lineare

tra i picchi.

Si adopera serie di indice di produzione industriale:

destagionalizzate e trimestralizzate.


-        E’ una capacità “economica”

-        La determinazione dei punti di massimo

è arbitraria

-        La serie cambia con l’ aggiunta di nuove osservazioni

Es.:


-        Cambia molto negli ultimi periodi specie

in una fase di crecsita


 

    

                                                                              

Indagini dirette presso le imprese:

In Italia:

-        indagine Isco (ora ISAE) trimestrale

qualitativa e quantitativa:

“tenuto conto dell’ evoluzione della

domanda, la capacità produttiva è più

che sufficiente, sufficiente o insufficiente?”

ð       tendenzialmente concetto tecnico => Wharton

(più facile per l’ imprenditore da definire)

ð       ma comunque non definito

 

Metodo rapporto K/Y

Idea: il capitale è il fattore che limita la produzione

1)  


calcolare

2) scegliere    mz<mi     'i¹z

3)  applicare mz (cioè il rapporto che indica il maggior

 potenziale dato il capitale) agli altri rapporti, cioè:


ð       mz = massimo utilizzo

 

Problema:

                K/Y dipende da vari fattori, ad esempio:


              e dipende dal rapporto L/K e A (progresso tecnico)

ð      


Se A aumenta nel tempo si stima:

  

(trend lineare) e si depurano gli mi della

componente tendenziale.

Metodo Banca d’ Inghilterra

1)   stimare funzione di produzione:

Y=f(K,…)

2)   calcolare differenza:

Y-Y*=max

(valore effettivo – valore teorico)

ð       qui massima utilizzazione del capitale

3)   si applica questo rapporto a tutta la curva

    della funzione:






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