Soluzioni tramite grafi e matrici - Grafi, Bilancio delle risorse per risolvevre una rete, Metodo dei nodi, Reti in cui ogni bipolo ha rappresentazion

Soluzioni tramite grafi e matrici

Grafi

Non verranno usate definizioni rigorose. I grafi sono utili a descrivere topologicamente la rete. Data una rete di bipoli, li sostituisco con delle linee, mantenendo inalterati i vertici. Le giunzioni dei segmenti, ovvero i vertici, sono detti nodi. I segmenti sono i lati del grafo.

Un grafo è irriducibile se non contiene lati in parallelo o in serie. Un grafo, e quindi la rete ad esso corrispondente, si dice are se può essere disegnato su un piano senza intersezioni fra i lati che lo compongono.

Si dice grafo orientato un grafo in cui su ogni lato lato è definita una direzione preferita. L'orientamento del grafo deve derivare dalle convenzioni di segno assunte. le definizioni date valgono anche per gli n-poli. Si definisce cammino un sottografo composto dalla sequenza dei lati che si deve percorrere per andare da un nodo ad un altro. Si dice anello di un grafo un qualunque sottografo formato da un cammino chiuso. La tensione lungo i lati di un anello soddisfa le equazioni delle tensioni di Kirchhoff. le tensioni sui lati di un grafo sono dette tensioni di lato. Si ha una maglia quando si considera un anello del grafo che non contiene lati del grafo. Si ha un grafo connesso se da ogni nodo esiste un cammino per ogni altro nodo. Si dice albero un grafo connesso senza anelli. E' un taglio o un insieme di taglio un insieme di lati che se rimossi trasforma il grafo da connesso in non connesso. le correnti sui lati di un taglio soddisfano le leggi di Kirchhoff per le correnti.

Bilancio delle risorse per risolvevre una rete

Si consideri una rete connessa da l lati ed n nodi.

Sono incognite tutte le correnti sui lati della rete (l incognite) e lo sono le tensioni di lato (altre l incognite). Nelle reti connesse tutte le tensioni (anche non di lato) si possono esprimere tramite somma o differenza. Si ha così un totale di 2l incognite.

Si contino ora le equazioni disponibili: le equazioni caratteristiche sono indipendenti. Si hanno poi le equazioni di Kirchhoff ai nodi di cui il numero massimo di equazioni è (n - 1). Ciò non viene dimostrato. Si possono ora scrivere le equazioni per le tensioni: se ne hanno l - (n - 1) indipendenti. Per scrivere le equazioni per le tensioni si usino degli anelli. Ciclicamente, per avere l'indipendenza, non si considera un lato già utilizzato e si applica l'algoritmo iterativamente.

#eq = #lati cancellati = #lati (dati - rimasti) = l - #rimasti = l - (n - 1), in cui #rimasti è la descrizione dell'albero che ha sempre n - 1 lati, e ciò si può dimostrare per induzione.

Si ha un totale di 2l equazioni, quindi ogni circuito è risolvibile.

Metodo dei nodi

Si scelga un nodo di riferimento e lo si evidenzi. E' ora possibile definire tutte le tensioni ai nodi.

: uso le equazioni per le correnti ai nodi della rete, ne uso (n - 1), cioè tutte quelle possibili eccetto quelle per il nodo di riferimento.

Reti in cui ogni bipolo ha rappresentazione Norton e non si hanno pilotati

Si scrivono le equazioni e si raccolgono in due matrici, quella delle conduttanze nodali che si indica con G e quella dei temini noti in cui appaiono le correni. Utilizzando la matrice colonna delle tensioni numerate in ordine prograssivo (come le equazioni dei nodi) si ottiene il sistema Gv = a.

Data una rete qualsiasi, è agevole costruire G per ispezione: (G)_k,k è la sommatoria delle conduttanze uscenti dal nodo k; (G)_j,k = (G)_k,j sono la sommatoria cambiata di segno delle conduttanze che si trovano interposte fra i nodi j e k se i nodi sono diversi.

Si nota immediatamente che tutti gli elementi sulla diagonale sono negativi e che la matrice è simmetrica.

Per gli elementi della matrice a si ha che (a)_k è la sommatoria di tutte le correnti di k che sono positive se entranti.

Si osservi che: le proprietà dette valgono solo per reti di questa classe; Millman è una rete di questo tipo con solo due nodi; le reti con generatori di corrente pilotati sono risolvibili ma non per ispezione.

Metodo dei nodi semplificato

Se si ha un generatore di tensione fra due nodi non si è in grado di applicare il metodo dei nodi. Si definisce allora un supernodo, ovvero una superficie chiusa che contiene più nodi. I nodi raccolti saranno quelli fra cui è posto il generatore di tensione. Si procede poi come nel metodo dei nodi e anche in questo caso si può scrivere G per ispezione.

La matrice dei contributi però non si può scrivere per ispezione. Per individuare la matrice si segua questo procedimento: si elimini il generatore di corrente spezzandolo, ovvero sostituendolo con tanti generatori uguali per ogni lato a cui il primo era collegato. Poi si calcolano le i.

Come regola si fa sparire il nodo che non interessa tramite spezzamenti e si sostituiscono i componenti serie con dei componenti parallelo.

Se si ha un solo generatore di tensione fra due nodi, posso sempre scegliere come nodo di riferimento uno dei morsetti del generatore. Il metodo si dice semplificato perchè una delle incognite sparisce sempre.

Metodo dei nodi modificato

Se con la presenza di un generatore non si nota che due tensioni sono legate, si può procedere come se tutte fossero incognite. Si introduce poi una successiva incognita: la corrente che fluisce nel generatore di tensione. Poi si esegue l'ispezione.

Si ha però un numero di equazioni inferiore alle incognite, allora si usa l'equazione per le tensioni dipendenti. In questo modo si aggiunge alla matrice G un numero tale di colonne e righe quanti sono i generatori di tensione presenti. Sia le righe che le colonne aggiunte possono avere uno dei tre valori . Si usa +1 nella casella in cui si ha il morsetto positivo e -l per il morsetto negativo.

Il problema, però, aumenta di dimensione.

Matrice di incidenza ridotta di una rete

Si consideri una rete connessa e se ne tracci il grafo orientato. Se ne numerino poi i nodi ed i lati. Si consideri poi come nodo di riferimento un nodo qualsiasi e si scrivano le equazioni alle correnti degli altri nodi. Alle correnti si dia il nome dei lati.

Le equazioni trovate sono l.i.. Si può definire una matrice colonna i i cui elementi sono le correnti di lato. L'equazione Ai = 0 è l'equazione di Kirchhoff per le correnti della rete, e la matrice A dei coefficienti delle correnti si può ottenere anche per ispezione: (A)_jk è +1 se il lato k esce dal nodo j; -l se il lato k entra nel nodo j; 0 altrimenti.

Per ogni lato k della rete si definisca v_lk secondo le convenzioni degli utilizzatori rispetto alle i_k del lato. Si scrivano tutte le equazioni e si definiscano le due matrici v_l e v si ottiene v_l = A^tv. Si ha l'equazione di Kirchhoff delle tensioni della rete.

Teorema di Tellegen

Per ogni rete, purchè connessa, per ogni vettore i che soddisfi le equazioni di Kirchhoff per le correnti della rete e per ogni vettore v_l che soddisfi le equazioni di Kirchhoff per le tensioni vale che v_l^ti = 0.

Non è necessario che i vettori siano la soluzione della rete, basta che soddisfino KCL e KVL.

DIM.:

i soddisfa KC, allora Ai = 0;

v_l soddisfa KV, allora A^tv = v_l.

v_l^ti = (A^tv)^ti = (v^t(A^t)^t)i = v^tAi = 0 da Ai = 0 per ipotesi.

Si consideri il caso in cui v_lk e i_k siano le soluzioni della rete, allora il teorema di Tellegen indica che la potenza assorbita, per ogni istante, è nulla.

Fondatezza del metodo dei nodi

p37.

Metodo del Tableau sparso

E' il metodo complemementare del metodo dei nodi. In esso utilizzo tutte le tensioni, tutte le correnti ed altre incognite. Non si hanno restrizioni sugli elementi costitutivi della rete ed utilizzo la matrice di incidenza della rete, quindi la rete deve per lo meno essere connessa.

Si esegua il bilancio delle equazioni e delle incognite

L'ultima equazione è una generalizzazione delle equazioni caratteristiche espresse come av + bi + c = 0.

Costruisco la matrice colonna delle incognite

ed ottengo il sistema

che equivale a scrivere ,  in cui la prima matrice è appunto il tableau sparso. Esso si ricava solitamente per ispezione.

Per ogni rete connessa resistiva esiste una unica soluzione se essa è descritta con il metodo del tableau sparso se e solo se esiste l'inversa del tableau. Se il sistema è risolubile, l'equazione è invertibile e u contiene tutte e solo le sorgenti indipendenti. Qualunque grandezza della rete è funzione delle sorgenti indipendenti della rete per il principio di sovrapposizione degli effetti.

Perchè la rete sia risolubile è necessario che: la rete connessa sia composta solo da resistori con R > 0 è con generatori di corrente non isolati da tagli. nel caso la soluzione è unica.

DIM.: p72

La classe può essere allargata a generatori di tensione non isolati in anelli.