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Calcolo Combinatorio

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Calcolo Combinatorio

semplici

 


Combinazioni

 

Disposizioni

 
                                                                        

Con ripetizione

 

con ripetizione

 


    [Conta l’ordine]                                                                    [L’ordine non conta]

 

Disposizioni semplici:

Def: Dati n elementi distinti, si chiama disposizione semplice degli n elementi presi k a k, con k ≤ n, un gruppo ordinato formato da k degli n   elementi dati.

N.B. Nelle disposizioni semplici non ci sono ripetizioni, pertanto due disposizioni differiscono sia quando hanno elementi diversi, sia quando hanno gli stessi elementi me è diverso l’ordine.

Teo: Il numero delle disposizioni semplici di n elementi di classe k è dato da:

      Ovvero è il prodotto di k numeri consecutivi decrescenti a partire da n.

Ex: Ad un concorso con 4 posti partecipano 12 concorrenti. Quante solo le possibili graduatorie di vincitori?   .

Permutazioni semplici:

Def: Si chiama permutazione semplice di n elementi una disposizione semplice di n elementi presi ad n a n:

       (fattoriale).

Ex: In quanti modi 4 giocatori si possono disporre attorno ad un tavolo quadrato?  

Disposizioni con ripetizione:

Def: Dati n elementi distinti si dice disposizione con ripetizione degli n elementi presi a k a k, con k intero qualunque, un gruppo ordinato di k elementi in cui ogni elemento può essere ripetuto fino a k volte.

Teo:

Ex: In quanti modi si può rispondere ad un test di V/F di 12 domande? .

Combinazioni semplici:

Def: Dati n elementi distinti, si chiama combinazione semplice degli n elementi di classe k con k ≤ n ogni sottoinsieme formato da k elementi.

N.B. Dato I = la combinazione di classe k, sono tutti i sottoinsiemi di I di cardinalità k (con  elementi).

In generale, le combinazioni sono: .

Teo:

Oss: Le combinazioni di n elementi di classe k si indicano con il simbolo chiamato coefficiente binomiale. Pertanto:  proprietà dei tre fattoriali

Ex: Quante sono le combinazioni possibili per fare 6 al superenalotto?


Proprietà del Coefficiente binomiale

Richiami:

Rappresenta il numero di sottoinsiemi di cardinalità k di un insieme di n elementi.

Proprietà:

(1)  => l’insieme vuoto

 => ogni sottoinsieme ha un solo sottoinsieme vuoto

(2) =

(3)  proprietà delle classi complementari (ogni sottoinsieme di cardinalità  ne individua un altro di cardinalità n-k).

(4)  formula di Stifel                                           EX:

(5) Binomio di Newton

    (a + b)0 = 1

    (a + b)1 = a + b

    (a + b)2 = a2 + 2ab + b2                                                                                           TRIANGOLO DI TARTAGLIA

    (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3






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