FUNZIONI A DUE VARIABILI

FUNZIONI A DUE VARIABILI.

Definizione:

Si definisce funzione a due variabili la funzione z = f(x,y) dove (x,y) sono le variabili indipendenti e z e la variabile dipendente.

Lo spazio a tre dimensioni:

La ricerca del dominio di una funzione:

Come nel caso delle funzioni ad una variabile reale, la prima cosa da fare quando si devono delle funzioni a due variabili, è determinare il dominio per farlo dobbiamo tenere presente le consuete regole d'esistenza.

Un polinomio esiste sempre

Una frazione esiste sempre se il suo denominatore è diverso da zero.

Un radicale d'indice pari esiste se il suo argomento è positivo o nullo.

Un radicale d'indice dispari esiste sempre, qualunque sia il valore del suo argomento.

Un logaritmo esiste se il suo argomento e positivo.

Limite e continuità delle funzioni a due variabili.

Dato un punto A(X Y ) ed un numero reale r si dice intorno circolare di A l'insieme dei punti (X,Y) del piano 36la cui distanza da P è minore di r. l'insieme di tali punti è quindi quello dei punti del cerchio di centro A e di raggio r, circonferenza esclusa, cioè dei punti che soddisfano la relazione:

(x-x )² + (y-y )² < r²

Si parla di intorno infinito quando si considerano i punti esterni ad un cerchio di raggio arbitrariamente grande.

Un punto A di un insieme si dice interno all'insieme stesso se esiste un intorno circolare di centro A formato esclusivamente da punti di

Un punto B si dice esterno ad se esiste un intorno circolare di centro B che non contiene alcun punto di

Un punto che non è interno e non è esterno si dice frontiera di

Limiti delle funzioni a due variabili:

-limite 1.

Data una funzione f(x,y) di dominio D ed un punto P (X ,Y ) che sia di accumulazione per D, si  dice che la funzione f ha per limite P per P(X,Y) che tende a P e si scrive:

Lim f(x,y) = p

p→p0

-limite 2.

Data una funzione f(x,y) ed un punto P (X ,Y ) che sia di accumulazione per D, si dice che la funzione f ha per limite + per P(X,Y) che tende a P e si scrive :

Lim f(x,y) = + ∞

p→p0

Definizione di continuità:

Una funzione f(x,y) definita in un insieme piano si dice continua in un punto P (X ,Y che sia di accumulazione per se esiste finito.

Lim f(x,y)

p→p0

e se tale valore è uguale a quello che la funzione assume in P . in simboli:

Lim f(x,y) = f(x ,y

x→x

Lim f(x,y) = f(x ,y

y→y

derivate parziali:

Si  dice derivata parziale rispetto a X della funzione f(x,y) nel punto P (X ,Y ) il limite, se esiste finito per Ax che tende a zero, del rapporto incrementale di f relativo al punto X e all'incremento Ax, in simboli si pone:

Lim   f(x + Ax, y ) - f(x ,y = f¹x (X ,Y

Ax→0    Ax

Si dice derivata parziale rispetto a Y della funzione f(x,y) nel punto P (X ,Y ) il limite, se esiste finito per Ay che tende a zero, del rapporto incrementale di f relativo al punto y e all'incremento Ay; in simboli:

Lim   f(x0 , Y +Ay) - f(x ,y = f¹y (X ,Y

Ay→0  Ay

Le derivate seconde della funzione f calcolate prima rispetto ad una variabile e poi all'altra , cioè f¹¹yx ed la f¹¹xy, si dicono derivate miste.

Teorema di Schwarz.

Se la funzione f(x,y) ha derivate seconde miste che sono continue in un insieme s ,allora f¹¹yx=f¹¹xy in ogni punto di s.

Sia z=f(x,y) una funzione definita in un insieme D del piano. Si dice che un punto P (X ,Y D

E un punto di minimo relativo per f se esiste un intorno di P contenuto in D per tutti i punti dove capita che f(x,y)≥f(x y

Si dice che un punto P (x y D è un punto di massimo relativo per f se esiste un intorno di P contenuto in D per tutti i punti dove capita che f(x,y)≤ f(x y

Si parla invece di un punto di minimo assoluto e di massimo assoluto se le relazioni A e B sono vere per ogni (x,y) D.

I punti di massimo e di minimo ( assoluti o relativi) vengono detti punti estremanti della funzione.

Un punto p (x y ) stazionario per una funzione f(x,y) si dice punto di sella se ogni intorno di P ha dei punti per cui vale la relazione f(x,y)< f(x y ) e dei punti per cui vale la relazione opposta f(x,y)> f(x y