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Gli asintoti - Asintoti verticali, Asintoti orizzontali

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Gli asintoti

Una retta y= m x +q è un asintoto per la funzione y= f(x) se al tendere di P all’infinito la distanza  PH  tende a zero, cioè se

Gli asintoti possono essere : Verticali, Orizzontali ed obliqui.


Asintoti verticali

                                     

 

allora  “x= a”  è un asintoto verticale.

Infatti la distanza del punto “P” della curva  dalla retta x=a, per x®a  tende a zero; cioè         

                                     

Asintoti orizzontali

 

 


Se              allora “y= b” è l’asintoto orizzontale

Infatti la distanza del punto “Pº[x, f(x)]” della curva dalla retta “y= b” tende a zero per x® ±µ ; cioè:

        

                                      Nel caso delle funzioni razionali fratte i limiti per x®±µ danno risultati eguali e quindi esiste un unico asintoto orizzontale, mentre bisogna fare attenzione alle funzioni trascendenti (irrazionali, esponenziali e goniometriche), in quanto, con esse, i due limiti per x®-µ ed x® +µ potrebbero dare risultati diversi ed, in tali casi, esistono due asintoti orizzontali, oppure potrebbero esistere un asintoto orizzontale ed  uno obliquo.

                                     

                                      c) A s i n t o t i    o b l i q u i

Se invece  il   , allora non esiste un asintoto orizzontale, ma potrebbe esistere un asintoto obliquo del tipo   y= m x + q    dove:    

Logicamente l’asintoto esiste solo se esistono e sono finiti entrambi i limiti

Nel caso delle funzioni razionali fratte i limiti per x®±µ danno risultati eguali e quindi esiste un solo asintoto obliquo,  ma, nelle funzioni trascendenti tali limiti potrebbero essere diversi e quindi esisterebbero due asintoti obliqui.


Dimostrazione: La retta  y= m x + q è l’asintoto obliquo se al tendere di x all’infinito, la distanza PH tende a zero.

E’ preferibile fare il ragionamento sull’ipotenusa PC del triangolo rettangolo (AHC), tanto se, per x®µ,  tende a zero l’ipotenusa “PC”, a maggior ragione tenderà a zero il cateto “PH”.  In conclusione sostituiamo

Dividendo primo e secondo membro della precedente equazione per “x”, a secondo che “f(x)-(mx+q)” sia positivo o negativo, avremo:

     

Dalla (1), sempre nell’ipotesi che “f(x)-(mx+q)” sia positivo o negativo, avremo:

                            

 

 

 

 

Funzione razionale fratta:

 

Metodo pratico per la determinazione degli asintoti o delle funzioni asintotiche

Se la funzione è del tipo       eseguiamo la divisione fra numeratore e denominatore; avremo un quoziente Q(x) ed un resto R(x).®   A(X)          B(x)

                                                                                                 R(x)         Q(x)

In tal caso avremo:  

Se       allora    y= Q(x) è l’asintoto richiesto.

In pratica:

·                             se A(x) è di grado inferiore a B(x) allora esiste l’asintoto orizzontale e tale asintoto coincide con l’asse delle x.

·                             se A(x) è di grado eguale a B(x) allora esiste l’asintoto orizzontale la cui equazione è  

·                             se A(x) è di un solo grado superiore a B(x) allora esisterà un asintoto obliquo del tipo y = m x + q

·                             se A(x) è di almeno due gradi superiore a B(x) allora esisterà una funzione asintotica.



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