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Prova di Matematica

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Prova di Matematica

Funzione: legame tra 2 variabili (X variabile indipendente; Y variabile dipendente) collegate tra loro da una legge algebrica (f). La relazione matematica tra X e Y ad ogni valore reale X fa corrispondere un solo valore reale di Y.

Un numero è razionale (Q) se si può scrivere come rapporto di numeri interi o come frazione.

√2 non è razionale perché non si può scrivere come rapporto di due numeri interi

.

Un numero è irrazionale (I) quando non si può scrivere sottoforma di rapporto fra 2 numeri interi

(decimali non periodici illimitati; tutte le radici)

Tutte le funzioni che sono polinomi si grado qualsiasi vengono chiamate funzioni razionali intere

(funzioni la cui espressione che lega y con la x è un polinomio che è la somma di più monomi)

.

Le funzioni razionali fratte sono funzioni algebriche che esprimono il rapporto fra due polinomi.



Le funzioni irrazionali intere sono quelle che si esprimono tramite radice.

Le funzioni irrazionali fratte si esprimono tramite radice e l’argomento è il rapporto fra 2 polinomi

Le funzioni trascendenti si dividono in: funzioni trascendenti logaritmiche (la x è nell’argomento della radice) e funzioni trascendenti esponenziali (la x è all’esponente)

Y= X² - 5X + 6 ∕ X + 7         funzione razionale: rapporto fra due polinomi

Y=    1    X² - 4   funzione razionale fratta: rapporto fra 2 polinomi

Y=  √ X² - 5X + 4   funzione irrazionale intera: si esprime tramite radice

Y=  √ X + 1 ∕ X – 2  funzione irrazionale fratta: si esprime tramite radice e il polinomio viene

                                                                                espresso mediante frazione

   

Y= log  X          Y= log   (X+5)    funzioni trascendentali logaritmiche intere

           2                                     2

Y= log    X-3 ∕ X+4      funzione trascendentale logaritmica fratta

          2

             

              (x+3)

Y=  2             funzione trascendentale esponenziale intera

            X+3/x-7                                                                                                                    la x è all’esponente

Y= 2              funzione trascendentale esponenziale fratta

Il Dominio è l’insieme dei numeri reali (R) della variabile X indipendente in corrispondenza della quale esistono corrispondenti valori della variabile dipendente Y

Il Condominio è l’insieme dei valori reali (R) che assume la variabile dipendente Y

Classificazione delle funzioni e determinazione del loro dominio:


1.      FUNZIONI RAZIONALI INTERE                         D: insieme dei n° reali (R)

            Y= 5x³ -4x ²+2x-3                                                           D = R = ]-∞; +∞ [

            Y= 3x²-2x+4

            Y= 2x+5                                                              qualunque valore reale di X mi permette di                                                                             trovare un valore reale di Y

2.      FUNZIONI RAZIONALI FRATTE                          D: denominatore posto ≠ 0

      (funzioni algebriche)

    Y= X+1 /  X-l

    Denominatore ≠0 : X-l≠0 ;  X≠1    D: ] - ∞;1[U]1; +∞[

Le FUNZIONI IRRAZIONALI possono essere :

1.      con indice di radice pari      Y= ²√ X+1 / X-3     Y= ²√ -⅓  (risulterà un n° immaginario perché

                                                                                                     sotto radice c’è -)

Quando ho una FUNZIONE IRRAZIONALE con indice di radice PARI il dominio D si trova ponendo l’argomento della radice ≥0  perché la radice di indice pari di un n° negativo non è un n° reale (R)

2.      con indice di radice dispari    Y=  ³√ - 125   Y= ³√X+1  / X-3   si comporta come le razionali

                                                                                                          D: tutto l’insieme dei n° reali (R)

Quando ho una FUNZIONE IRRAZIONALE con indice di radice DISPARI si comporta come una FUNZIONE RAZIONALE  quindi il dominio D: tutto l’insieme dei n° reali (R)

Quando una funzione è costituita dalla somma o differenza di 2 o più radicali, il dominio D si determina ponendo ciascun argomento ≥ 0 e risolvendo il sistema costituito da tutte le condizioni degli argomenti

ESEMPIO

                                                         2X-3≥0                 2X≥3                         X    3∕2   

Y= ²√ 2X-3    +    ²√ 2-X   {        2-X≥0     {    -X≥-2        {      X  ≤ 2

Una disequazione fratta si risolve studiando il segno del num. e del den. e facendo il rapporto fra i segni.

Quando una funzione è espressa mediante un numero elevato all’esponente la funzione è detta funzione esponenziale , ha come base un n° e come esponente la variabile indipendente espressa da un n° reale (R).

La funzione esponenziale è sempre positiva e viene definita solo se la base è  ≠0 o  >0

Se la base è >1:

1.      la funzione è crescente all’aumentare delle x aumentano le y;

2.      D:   ]-∞;+∞[

3.      la funzione passa per il punto 0;1




4.      quando la x tende ad assumere valori verso +∞ anche la y tende ad assumere valori verso +∞

Se la base è compresa tra 0;1

1.      la funzione è decrescente,

2.      D: ]-∞;+∞[ ,

3.       quando la x tende ad assumere valori verso +∞, la y assume valori che i avvicinano allo 0 senza mai raggiungerlo

4.      quando la x tende ad assumere valori verso -∞, la y assume valori verso +∞

Quando abbiamo una funzione esponenziale che ha l’esponente con una funzione algebrica, per ottenere il dominio D si applica alla funzione algebrica le regole delle funzioni razionali o irrazionali, intere o fratte.

FUNZIONI LOGARITMICHE

Elevamento di potenza                                                                                              estrazione di radice

 

            esponente                                             equivale

          a ⁿ   = bpotenza                                                                                               a =  ⁿ√b

         

        base

La radice ennesima di b è quel n° che elevato allo stesso esponente pari all’indice di radice da per risultato l’argomento della radice (B)

Il logaritmo in base a del numero b è l’esponente n da attribuire alla base a per ottenere una potenza = all’argomento b

Il logaritmo è l’esponente che bisogna dare alla base per ottenere la potenza

La radice ennesima di un n° elevato ad un esponente è = ad una potenza avente come base il n° in questione e come esponente una frazione con il numeratore = all’esponente del n° dato e denominatore = indice di radice

ESEMPIO

³√a²   =   a ⅔

Due potenze aventi stessa BASE e stesso ESPONENTE sono =

Due potenze aventi stessa BASE sono = devono avere stesso ESPONENTE

Due potenze aventi stesso ESPONENTE sono = devono avere stessa SASE

ESEMPIO

                    

aⁿ = aⁿ                                    aⁿ =  aª → ⁿ=ª                         aⁿ = bⁿ→ a=b

PROPRIETA’ DEI LOGARITMI

1.           Log   m x  n    =    Log  m   +   Log  n    Il logaritmo di un prodotto è = alla somma  

                             a                                           a                             a            dei logaritmi dei singoli fattori

2.           Log   m/n  =     Log  m  -  Log  n         Il logaritmo di un quoziente è = alla differenz

                 a                                     a                         a                      del logaritmo del numeratore e del logaritmo

                                                                                        del denominatore

3.           Log  bⁿ   =  m x   Log   b

                 a                                          a

4.           Log   ⁿ√b  =   1/n Log  b

                  a                                          a

5.           Log  b   =  Log  b  /  Log  a                 Proprietà del cambiamento di base

                 a                          c (10)               c(10)

Y  =  Log     x-2 / x    E’ una funzione logaritmica   

                   10                       Il dominio D si determina ponendo l’argomento del logaritmo >0






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