ePerTutti
Appunti, Tesina di, appunto matematica

SCHEMA RIASSUNTIVO DELLE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE - AFFINITA, SIMILITUDINI, OMOTETIE, ISOMETRIE

Scrivere la parola
Seleziona una categoria

SCHEMA RIASSUNTIVO DELLE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE

AFFINITA’

Una trasformazione lineare si può esprimere in questo modo:

                       oppure

                      oppure                                   

dove   ( a;c )  = f ( 1;0 )

           ( b;d ) = f ( 0;1)



La trasformazione è individuata dalla matrice  A =           

 con  det (A) ¹0  (altrimenti la matrice non sarebbe invertibile)

ricordiamo che l’inversa di una matrice è data da   A-l =

Una trasformazione lineare +  una traslazione  è una generica affinità   che ha quindi equazione:

                                          

es.

Data la  trasformazione :  

1. scrivila sotto forma matriciale

2. verifica se è una affinità

3. trasforma il triangolo di vertici  A(0,0)  B(3,0)    C(2,2)

4. trasforma la retta   2x - y = 0

5. trova la retta unita

L’affinità è una trasformazione in cui:

a rette corrispondono rette

a rette parallele corrispondono rette parallele

è costante il rapporto tra le aree di ure corrispondenti    ½ad-bc½= det (A) ¹0 si dice rapporto di affinità.

riassumendo:

 condizione perché una trasformazione sia un’affinità :                          

1.  det (A) ¹0

                                  

SIMILITUDINI

E’ un’affinità in cui è costante il rapporto tra due qualunque segmenti corrispondenti; tale rapporto costante è chiamato raporto di similitudine

Vediamo come deve essere la matrice  A;        ovviamente avrà le stessa caratteristiche di un’affinità più altre.

                                                                                 

E’ una similitudine diretta   se A si presenta in questa forma:    det (A)= k2   e ½k½=  rapporto di similitudine

E’ una similitudine  inversa  se A è del tipo:                            det (A)= -k2   e ½k½=  rapporto di similitudine

es.

    forma matriciale:                                                                      è……………………..

  forma matriciale:                                                             è………………………..

riassumendo:

condizioni perché una trasformazione sia una similitudine :                    

1.  det(A)¹0

2.  sono uguali in valore assoluto gli elementi delle due diagonali  (in una sono uguali nell’altra opposti)

se sono uguali quelli sulla diagnale principale, la similitudine è diretta ed ha det(A)>0    infatti      det(A) =  a2 +b2

se sono uguali quelli sulla diagnale secondaria, la similitudine è inversa ed ha det(A)<0  infatti      det(A) =  -a2 -b2

OMOTETIE

Se  A=      la similitudine si dirà  omotetia  in cui   a  si dice rapporto di omotetia. 

il sistema sarà:          

in forma matriciale :     

Un’omotetia ha stesse caratteristiche dell’affinità + quelle della similitudine + gli elementi sulla diagonale secondaria nulli.

Stabilisci di quali trasformazioni si tratta analizzando le seguenti matrici:

         ……………………………..                                               ………………

           ……………………………                                                    ………………………

ISOMETRIE

(consideriamo quelle che lasciano fissa l’origine, parleremo dopo della traslazione).

Un’isometria è una similitudine con rapporto k=1; questo vuol dire:

- da un punto di vista geometrico che le dimensioni si conservano

- da un punto di vista analitico  det (A) =±1  (diretta +1,  inversa –1).

riassumendo




Sottolineamo che deve essere una similitudine, deve perciò avere le caratteristiche della similitudine:

1.  det (A) ¹0

2.  sono uguali in valore assoluto gli elementi delle due diagonali  (in una sono uguali nell’altra opposti)

   in più:

3.  det (A) = ±1

le condizioni 1, 2, 3  si riassumono dicendo che    A*=A-l          dove A* è la matrice trasposta

In particolare:

isometrie dirette: rotazioni

La matrice si presenta nella forma:

        con det(A)= 1

possiamo sempre scrivere la matrice A nella forma

in questo modo sappiamo l’angolo di rotazione che, come è stato dimostrato, ha ampiezza  a

isometrie inverse: simmetrie assiali

La matrice si presenta nella forma:

            con det(A)= -l

possiamo sempre scrivere la matrice A nella forma

in questo modo sappiamo il coefficiente angolare della retta di simmetria che, come è stato dimostrato,  è 

    m = tan

Stabilisci di quali trasformazioni si tratta analizzando le seguenti matrici;

controlla per ciascuna matrice tutte le condizioni :

1.  det (A) ¹0

2.  sono uguali in valore assoluto gli elementi delle due diagonali  (in una sono uguali nell’altra opposti)

   in più:

3.  det (A) = ±1

Stabilisci inoltre, una volta concluso che si tratta di una isometria, di quale isometria si tratta:

   ;   ;   ;  ;      ; ;  ;

 

Una similitudine è una composizione di una omotetia  e di una isometria. Per poter riconoscere le trasformazioni elememtari che la compongono procediamo così (partiamo dall’esempio n°5)

A=     det(A) = -4  Þ la similitudine  è inversaÞ k2=-4 Þk=2Þ posso riscrivere la matrice in questo modo:

 =   

possiamo concludere che la similitudine in esame è la composizione di una omotetia di k=2  edi una simmetria assiale, con asse di simmetria .

Una traslazione è rappresentata da un vettore di componenti:

In generale:

ogni trasformazione affine generica:  

 si può pensare come la composizione di un’affinità con l’origine fissa di matrice A=

ed una traslazione di vettore v (p;q).

Per questo è sempre possibile applicare ad una trasformazione qualunque le analisi che abbiamo condotto per l’affinità con l’origine fissa, analizzando la matrice  A dei coefficienti.

es. 

Studiare la seguente trasformazione:

La trasformazione si può scomporre in una  affinità con l’origine fissa:

A=

ed una traslazione  di vettore   v (-l;2)

Studia  l’affinità

Trova i punti uniti

Trova la corrispondente della retta     2x+y = 1  ( riferimento testo  569 ForMat ,Spe vol 1 )






Privacy

© ePerTutti.com : tutti i diritti riservati
:::::
Condizioni Generali - Invia - Contatta