SISTEMI D'EQUAZIONI DI PRIMO GRADO

DEFINIZIONE DI SOLUZIONE: si dice che una coppia ordinata di numeri reali è una soluzione di un'equazione a due incognite se, sostituendo il primo numero alla prima incognita e il secondo numero alla seconda incognita, l'equazione si trasforma in un'eguaglianza vera.

DEFINIZIONE: si dice sistema d'equazioni un insieme di due o più equazioni considerate contemporaneamente.

Si dice grado di un sistema il prodotto dei gradi delle equazioni del sistema.

PRINCIPIO DI RIDUZIONE: dato un sistema di equazioni, se ad una di esse si sostituisce l'equazione che si ottiene addizionando membro a membro tutte le equazioni del sistema si ottiene un sistema equivalente al dato.

PRINCIPIO DI SOSTITUZIONE: risolvendo un'equazione di un sistema rispetto ad un'incognita e sostituendo, nelle restanti equazioni, l'espressione così ottenuta al posto di tale incognita, si ottiene un sistema equivalente al sistema dato.

PER RISOLVERE UN SISTEMA DI PRIMO GRADO DI DUE EQUAZIONI CON DUE INCOGNITE, SI TRASFORMANO LE DUE EQUAZIONI IN ALTRE EQUIVALENTI NELLE QUALI I COEFFICIENTI DI UNA STESSA INCOGNITA SIANO UGUALI: SOTTRAENDO ALLORA MEMBRO A MEMBRO LE DUE EQUAZIONI, SE NE OTTIENE UNA TERZA CHE CONTIENE UNA SOLA INCOGNITA.

CONFRONTO: SI RIDUCE IL SISTEMA A FORMA NORMALE, SI RICAVA L'INCOGNITA Y IN TUTTE E DUE I SISTEMI, POI SI EGUAGLIANO LE DUE SOLUZIONI OTTENUTE.

CIRCONFERENZA E CERCHIO

DEFINIZIONE: CHIAMASI CIRCONFERENZA IL LUOGO DEI PUNTI DI UN PIANO CHE HANNO DA UN PUNTO DATO DISTANZA ASSEGNATA.

LA URA COSTITUITA DA TUTTI I PUNTI DI UNA CIRCONFERENZA PIÙ I SUOI PUNTI INTERNI SI CHIAMA CERCHIO, DI CUI LA CIRCONFERENZA E' IL CONTORNO.

In una stessa circonferenza (o in circonferenze congruenti) ad archi congruenti corrispondono angoli al centro congruenti e, viceversa, se due angoli al centro di una circonferenza sono congruenti, lo sono pure gli archi su cui insistono.

CIASCUN ARCO IN CUI UNA CIRCONFERENZA E' DIVISA DA UN SUO DIAMETRO SI DICE SEMICIRCONFERENZA.

In una stessa circonferenza (o in circonferenze congruenti) ad archi disuguali corrispondono angoli al centro disuguali e, precisamente, all'arco maggiore corrisponde un angolo al centro maggiore e viceversa.

Si chiama somma/differenza di due o più archi di una stessa circonferenza l'arco che ha per angolo al centro la somma/differenza degli angoli al centro corrispondenti agli archi dati.

La retta passante per il centro di una circonferenza e perpendicolare ad una corda dimezza la corda, l'angolo al centro e l'arco corrispondente.

In una circonferenza l'asse di qualunque corda passa per il centro.

Il centro di una circonferenza è il suo centro di simmetria.

Ogni retta passante per il centro è asse di simmetria per la circonferenza stessa.

Una retta e una circonferenza non possono avere più di due punti in comune.

Per tre punti non allineati passa una circonferenza e una sola.

In una stessa circonferenza le corde che sottendono archi congruenti sono congruenti e viceversa.

In una stessa circonferenza corde congruenti sono ugualmente distanti dal centro e viceversa.

In una stessa circonferenza due corde disuguali distano diversamente dal centro e viceversa; quella maggiore ha distanza minore e viceversa.

Ogni retta avente dal centro di una circonferenza distanza maggiore del raggio non ha punti comuni alla circonferenza; ogni retta avente dal centro distanza congruente al raggio ha in comune con la circonferenza un solo punto; ogni retta avente dal centro distanza minore del raggio taglia la circonferenza in due punti.

Dicesi angolo alla circonferenza un angolo convesso avente il vertice sulla circonferenza e i due lati secanti la circonferenza stessa, oppure un lato secante e l'altro tangente.

Ogni angolo inscritto in una circonferenza è retto.

IL LUOGO GEOMETRICO DEI PUNTI DI UN PIANO DA CUI SI VEDE UN SEGMENTO SOTTO UN ANGOLO DATO, E' LA COPPIA DI ARCHI DI CIRCONFERENZA CHE UNISCONO GLI ESTREMI DEL SEGMENTO E SONO CAPACI DELL'ANGOLO DATO.

I segmenti di tangente condotti da un punto esterno a una circonferenza, compresi fra tale punto e quelli di contatto, sono congruenti.

Da un punto esterno ad una circonferenza non possono condursi più di due tangenti.

La semiretta che congiunge il punto da cui escono le tangenti col centro della circonferenza è bisettrice sia dell'angolo che delle tangenti, sia dell'angolo formato dai raggi che vanno ai punti di contatto; inoltre è asse del segmento che unisce i detti punti di contatto.

POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI

UN POLIGONO SI DICE INSCRITTO IN UNA CIRCONFERENZA, QUANDO I SUOI LATI STANNO SULLA CIRCONFERENZA; DI CONSEGUENZA GLI ASSI DEI LATI SI INCONTRANO IN UN PUNTO CHE E' IL CENTRO DELLA CIRCONFERENZA.

UN POLIGONO SI DICE CIRCOSCRITTO AD UNA CIRCONFERENZA, QUANDO I SUOI LATI SONO TANGENTI ALLA CIRCONFERENZA; DI CONSEGUENZA LE BISETTRICI DEGLI ANGOLI SI INCONTRANO IN UN PUNTO CHE E' IL CENTRO DELLA CIRCONFERENZA.

IN UN QUADRILATERO INSCRITTO IN UNA CIRCONFERENZA GLI ANGOLI OPPOSTI SONO SUPPLEMENTARI.

SE UN QUADRILATERO E' CIRCOSCRITTO AD UNA CIRCONFERENZA, LA SOMMA DI DUE LATI OPPOSTI E' CONGRUENTE ALLA SOMMA DEGLI ALTRI DUE.

EQUIVALENZA DELLE SUPERFICI PIANE

DUE SUPERFICI AVENTI LA STESSA ESTENSIONE SI DICONO EQUIVALENTI.

DUE URE SCOMPONIBILI IN PARTI RISPETTIVAMENTE CONGRUENTI SI DICONO EQUICOMPOSTE.

DUE PARALLELOGRAMMI CHE HANNO RISPETTIVAMENTE CONGRUENTI LE BASI E LE ALTEZZE CORRISPONDENTI SONO EQUIVALENTI.

UN TRIANGOLO E' EQUIVALENTE AD UN PARALLELOGRAMMO CHE ABBIA PER BASE META' BASE E PER ALTEZZA LA STESSA ALTEZZA DEL TRIANGOLO.

UN TRAPEZIO E' EQUIVALENTE AD UN TRIANGOLO AVENTE BASE CONGRUENTE ALLA SOMMA DELLE BASI DEL TRAPEZIO ED ALTEZZA CONGRUENTE.

I RADICALI

DEFINIZIONE: SI DICE RADICE QUADRATA DEL NUMERO REALE A>0, E SI INDICA CON√a , QUEL NUMERO REALE B>0 IL CUI QUADRATO E' UGUALE AD A.

DEFINIZIONE DI RADICE N-ESIMA: SE "N" E' UN NUMERO NATURALE POSITIVO E "A" UN NUMERO REALE MAGGIORE O EGUALE A ZERO, SI DICE RADICE N-ESIMA DI "A" QUEL NUMERO REALE MAGGIORE O UGUALE A ZERO, LA CUI POTENZA N-ESIMA E' UGUALE AD "A".

1° PROPRIETA' FONDAMENTALE: LA RADICE N-ESIMA DI "A" E' QUEL NUMERO MAGGIORE O UGUALE A ZERO LA CUI POTENZA N-ESIMA E' UGUALE AD "A".

2° PROPRIETA' FONDAMENTALE: LA RADICE N-ESIMA DI "A ELEVATO ALLA "N"" E' QUEL NUMERO POSITIVO O NULLO, LA CUI POTENZA N-ESIMA E' "A" ELEVATO ALLA "N"E PERCIO' QUEL NUMERO E' PROPRIO "A", DATO CHE LA POTENZA N-ESIMA DI "A" E' "A" ELEVATO ALLA "N"".

IL VALORE DI UN RADICALE NON CAMBIA, SE SI MOLTIPLICANO L'INDICE DEL RADICALE E L'ESPONENTE DEL RADICANDO PER UNO STESSO NUMERO.

IL PRODOTTO DI PIU' RADICALI CON LO STESSO INDICE E' UN RADICALE DELLO STESSO INDICE, AVENTE PER RADICANDO IL PRODOTTO DEI RADICANDI.

SI DICA L'OPPOSTO PER IL QUOZIENTE.

LA RADICE DI UN RADICALE E' UGUALE ALLA RADICE DEL MEDESIMO RADICANDO AVENTE PER INDICE IL PRODOTTO DEGLI INDICI.