Teorema del coseno (o Carnot), Teorema delle tangenti

Teorema del coseno (o Carnot) e delle tangenti

Teorema del coseno (o Carnot)

Il teorema del coseno è una generalizzazione del teorema di Pitagora al caso di triangoli non rettangoli.

In un triangolo il quadrato costruito su un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due, diminuita del doppio prodotto delle misure di questi due lati per il coseno dell'angolo da essi compreso.

Consideriamo il triangolo qualunque : tracciata l'altezza relativa alla base, otteniamo due triangoli rettangoli con un cateto in comune . Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo :

Per il teorema sui triangoli rettangoli applicato sul triangolo , avremo che:

Sostituendo i valori di e nella prima espressione, avremo:

da cui, svolgendo i calcoli, e tenuto conto che , si ha:

Allo stesso modo si trovano anche le altre due relazioni:

Teorema delle tangenti

In ogni triangolo la somma dei due lati sta alla loro differenza come la tangente della semisomma degli angoli opposti sta alla tangente della loro semidifferenza.

Consideriamo il triangolo qualunque ; per il teorema dei seni si ha:

da cui, componendo e scomponendo (con la proprietà del comporre e dello scomporre delle proporzioni), si hanno le proporzioni:

permutando i medi in entrambe le proporzioni si ha:

cioè:

e, permutando di nuovo i medi, avremo:

Ma, per le formule di prostaferesi:

Dunque, sostituendo, si ricava:

Osserviamo, però, che , da cui:

quindi, poiché , avremo che

perciò la relazione precedente si può anche scrivere nella forma:

La stessa relazione esistente tra i lati , esiste anche per i lati e , dimostrabile allo stesso modo.