UGUAGLIANZE LETTERALI

UGUAGLIANZE LETTERALI

Due espressioni legate da un segno uguale formano un'uguaglianza letterale. Sono uguaglianze letterali le espressioni della geometria che servono a calcolare aree e volumi delle ure geometriche e dei solidi. Anche le proprietà delle operazioni enunciate con le lettere sono uguaglianze letterali: ad esempio la proprietà associativa a+(b+c) = (a+b)+c.

Consideriamo ad esempio l'uguaglianza (2a+b).(2a-b) = 4a2-b2. Cosa vuol dire verificarla per a = 1/2 e b = 3? Verificare un'uguaglianza letterale per assegnati valori delle lettere vuol dire calcolare il valore dei suoi membri. L'espressione a sinistra dell'uguale è il primo membro, mentre l'espressione a destra è il secondo membro dell'uguaglianza. Nel secondo esempio otteniamo

(2*- +3)*(2*- -3) = (1+3)*(1- 3) = 4*(-2) = -8

per quanto riguarda il primo membro; considerando il secondo abbiamo

4*- -9 = 1-9 = -8.

L' uguaglianza è così verificata. Esponiamo ora alcune importanti proprietà dell'uguaglianza:

I. Aggiungendo o togliendo una stessa quantità a entrambi i membri l'uguaglianza continua a valere.

Prendiamo come esempio a-b = c. Se aggiungiamo a entrambi i membri la quantità b otteniamo: a-b+b = c+b, cioè a = c+b. In termini numerici abbiamo: 7-3 = 4. Se aggiungiamo a entrambi i membri il numero 3 otteniamo 7-3+3 = 4+3 cioè 7=7. Consideriamo ancora l'uguaglianza a-b = c. Se togliamo da entrambi i membri una stessa quantità, ad esempio a, l'uguaglianza continua a valere: infatti a-b-a = c-a cioè-b = c-a. Oppure, sempre partendo da a-b = c, togliamo da entrambi i membri la quantità c; otterremo a-b-c = c-c cioè a-b-c = 0. Diciamo allora che:

Si può spostare un termine di un'uguaglianza da un membro all'altro purché lo si cambi di segno.

Così nell'uguaglianza 3ab-c = b2+d, si sposta -c al secondo membro cambiandolo di segno; abbiamo allora 3ab = b2+d+c. E' come se avessimo aggiunto c a entrambi i membri e poi semplificato l'espressione.

II. Moltiplicando o dividendo due membri di una uguaglianza per una stessa quantità diversa da O l'uguaglianza continua a valere.

Dividiamo per esempio per d l'uguaglianza ad+c = b. Dopo aver portato c nel secondo membro abbiamo ad = b-c. Eseguiamo la divisione per d:

ad b-c

otteniamo __ = ___.

d d

b-c

Semplificando otteniamo a = ____.

d

Eseguendo la divisione abbiamo eseguito anche la moltiplicazione, poiché dividere un numero per d equivale a moltiplicarlo per 1/d.

Riprendiamo l'esempio relativo al concetto di velocità; avevamo v = s/t. Supponiamo di conoscere v e t: vogliamo trovare lo spazio s. Trasformiamo allora la nostra uguaglianza moltiplicando entrambi i membri per t. Otteniamo vt = s/t.t, cioè vt = s. Così lo spazio risulta uguale al prodotto della velocità per il tempo. Ciò che abbiamo fatto prende il nome di: risoluzione di una uguaglianza rispetto a una lettera, nel nostro caso s.