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ANOVA (Analisi della varianza) - Modello lineare degli effetti nella statistica

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mercoledì 10 marzo 1999

ANOVA (Analisi della varianza)

Estensione del t di student nel caso in cui si devono confrontare le medie di più gruppi.

ANOVA ad una via ®  esiste una sola variabile indipendente (es. età) a più livelli (es, bambini, giovani, anziani).

Disegni fattoriali ANOVA a più vie in cui esistono più variabili indipendenti a più livelli.

La variabile dipendente è comunque sempre 1.

Farmaco        Placebo         Controllo        v.d.= lunghezza sonno

Nel caso di MANOVA (ANOVA multipla) abbiamo più variabili dipendenti.

La statistica nell’ANOVA si chiama F (Fisher). F è in rapporto diretto con t in quanto F = t2 … anche se è meglio dire t = ±ÖF. Quindi F è per definizione positivo.

Il passaggio da F a t non è indolore in quanto deve essere usato un t a due code.

Il valore di F non mi dice nulla delle differenze dei gruppi.

Fatta una ANOVA devo fare i confronti prostock (a 2 a 2).

t e F sono la stessa statistica.

Alla base dell’ANOVA c’è il concetto di partizione della somma dei quadrati.

Modello lineare degli effetti nella statistica

i-esimo soggetto sottoposto al j-esimo trattamento.

yi,j = m + aj + ei

La formula ci dice che le ore di sonno del soggetto dipendono dalla composizione lineare di tre fattori:

1)     m ® media dell’universo;

2)     aj® fattore legato specificatamente al trattamento, corrisponde ad uno scarto dalla media ed è identico per tutti i soggetti. E’ detta between (b);

3)     ei® errore statistico (non sbaglio), quid che differenzia all’interno dell’universo ogni persona dalle altre. L’errore è tutto quel complesso di fattori che noi non siamo in grado di tenere sotto controllo. Varianza “entro soggetti” (interna al soggetto) detta within (w).

Se noi dimostriamo che b>w possiamo dire che i trattamenti sono stati efficaci.

Se noi facciamo la somma dei semplici errori statistici essa tende ad annullarsi (S ei® 0).

Tendenza rapida.

Se ho 3 gruppi indipendenti la somma degli errori dei 3 gruppi tenderà ad annullarsi, mentre se il trattamento è efficace ci sarà una forte differenza dovuta al trattamento.

1)     somma dei quadrati totale alla base della varianza

S S (xi,j – M)2                   xi,j = yi,j           M = media globale

2)     faccio un trucchetto algebrico: ad ogni soggetto aggiungo e tolgo la media del trattamento

S S (xi,j - Mj + Mj - M)2

3)     posso trattarlo come un trinomio

S S [(xi,j - Mj)+ (Mj - M)]2

4)     sviluppo il quadrato del binomio e metto dentro i termini “sommatoria”.

S S (xi,j - Mj)2+ S S (Mj - M)2 + 2S S (xi,j - Mj)* (Mj - M)

5)     xi,j - Mj=0  e Mj – M=0

S S (xi,j - Mj)2+ S S (Mj - M)2

¯                                           ¯

w                     b

6)     dividere somme dei quadrati per i gradi di libertà: per w è            ; per b è n-l livelli.

T medie dei quadrati.

SS (somma dei quadrati)

MS = SS/g (media dei quadrati)

F = MSb/MSw     se F<1 trattamento non significativo         MSb<MSw mi fermo!

                             Se F>1 devo vedere la probabilità corrispondente ad F.






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