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Speranza matematica - Valore atteso - Teorema del limite centrale o della convergenza stocastica

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giovedì 7 gennaio 1999

Speranza matematica

Valore atteso

E (x) ®      media = a x = m

                                     n



Varianza attesa

devianza

V (x) = a (x-m)2 = s2 = a x2 – [(ax)2/n] = a x2 - a x 2 = E (x2) – (E x)2

                    n                             n                      n      n

                                                                                  

                                      valore atteso di x2            valore atteso di x

La varianza è la differenza tra il valore atteso del quadrato dei valori e il valore atteso dei valori.

N         K         N = n° degli elementi dell’universo K = n° degli elementi del campione

Campionamenti con rimpiazzo.

Se ho un universo di N elementi, quanti campioni di K elementi possono essere fatti?       N

                                                                                                                                                         K

Ognuno di questi universi ha una sua media.

Tutte queste medie costituiscono un universo ® universo delle medie campionarie

Questo universo delle medie campionarie ha una sua media e una sua varianza.

Somma campionaria

Poniamo che N    = n

                         K

Sn = x1 + x2+ … + xn

Somma di un certo numero di variabili che estraggo dall’universo. Ognuna di queste variabili può essere rappresentativa di uno dei tanti campioni che posso tirare fuori.

Qual è il valore atteso della somma campionaria?

E (Sn) = E (x1) + E (x2) + … + E (xn) = n E (xi)

Perché non divido Sn per n? perché n nel caso di Sn è uguale ad 1, quindi in realtà divido, ma ciò non provoca nessun cambiamento.

V  (Sn) = n * V (xi)

¯

varianza attesa

Si moltiplica per n perché, essendo indifferente qual è x1, x2, … ed essendo tutti elementi tratti a caso dallo stesso universo, assumo che ognuno di questi ha come valore atteso la media dell’universo.

Qual è il valore atteso delle medie campionarie? Qual è la media di questo universo di medie?

E (mM) = E a xi  = E  1 a xi  = 1 E (a xi) = 1 * n E (xi) = m           




                        n          n             n                    n                              

La media delle medie campionarie è uguale alla media dell’universo.

Una statistica è un predittore equilibrato del parametro dell’universo quando il suo valore atteso è uguale al parametro che stiamo considerando.

Se E (mM) = m T la media del campione è un predittore equilibrato della media dell’universo.

Teorema del limite centrale o della convergenza stocastica

Dato un universo di medie campionarie costituita da campioni di grandezza n, questo universo, indipendentemente dalla distribuzione dell’universo di origine, tende a distribuirsi normalmente e la sua distribuzione converge verso la normalità tanto più rapidamente quanto più grande è il numero degli elementi del campione.

Se noi abbiamo a che fare con medie campionarie, possiamo trattarle come membri della distribuzione normale.

V (mM) =    V  1 a xi  = 1 V (a xi) = 1 * n V (a xi) = 1 V (a xi) = s2         

                        n             n2                  n2                       n                     n      

La varianza delle medie campionarie è uguale alla varianza dell’universo diviso la grandezza dei campioni.

L’universo delle medie campionarie ha media uguale alla media dell’universo di origine e varianza uguale alla varianza dell’universo di origine.

Varianza ¬   s2m = s2            sm = s .  ®  errore standard della media

                                   n                      Ön

Noi possiamo calcolare per ogni media campionaria il valore del punto z corrispondente.

zm = M - m      

            sm        

Possiamo attribuire ad ogni m il valore di probabilità di appartenenza dell’universo.






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