deviazione standard - standardizzazione

venerdì 11 dicembre 1998

z_i = x_i - m

s

Se noi facciamo la media dei punti z, vediamo che è uguale a zero.

La media aritmetica può essere anche chiamato valore atteso m = E(x_i)

Se m a(x_i)

n

m_z a(z_i) a(x_i-m

n s .

N

Media dei punti z  

Però a(x_i-m) è uguale a M1 che è uguale a zero. Quindi tutta la frazione è uguale a zero.

La varianza dei punti z è uguale a 1. La deviazione standard, essendo la radice quadrata della varianza, è uguale a 1.

s a(x-m

n

s _z a x-m - 0 ² a (x-m

s s a (x-m = s

= = n s s

n n

a(x_i-m = n

s

La sommatoria di tutti i punti z elevati al quadrato è uguale a n.

La sommatoria di tutti i punti z elevati al quadrato fratto n e 1.

Questa è una proprietà importante dei punti z.

Se noi abbiamo un insieme di dati di una distribuzione, li trasformiamo in punti z, li eleviamo al quadrato e li sommiamo otteniamo il numero dei casi.

m_z

s_z

a_z = n

La trasformazione dei dati in punti z si chiama standardizzazione.

E' molto difficile avere a che fare con universi, perché sono grandi e poco controllabili. In genere abbiamo a che fare con campioni, e quindi con un numero limitato di osservazioni tratte da un universo. Uno dei nostri problemi è capire se i risultati che otteniamo sui campioni possono essere personalizzati agli universi di appartenenza.

I parametri che descrivono l'universo di solito li indichiamo con lettere dell'alfabeto greco.

I valori corrispondenti ai parametri nei campioni sono detti indici statistici e li indichiamo con lettere latine.

Parametri  Indici

m                 

M oppure x

s² S²

Il segno ^ sopra l'indice o sopra il parametro indica la stima di tale indice o parametro:  S²

.

Stima della varianza del campione

Predittore equilibrato

Un concetto rilevante in statistica è quello di predittore equilibrato. Se abbiamo un parametro u e un rispettivo indice T, diciamo che T è un predittore equilibrato di u se il valore atteso (E) di T è uguale a u

Se questo non è vero, diciamo che l'indice non è predittore equilibrato del parametro dell'universo.

Universo delle medie caampionarie

Ho un universo di grandezza n con una media m. Da questo universo traggo dei campioni di k osservazion, ognuno con media M. Quanti campioni di grandezza K posso tirare fuori da un universo di N osservazioni?    N N su K

K

Ognuno di questi N su K campioni avrà una sua media si avrà una N su K media campionaria per ciascun universo, che tutte insieme formano un altro universo, l'universo delle medie campionarie di K elementi tratti da un universo di N elementi.

Questo universo delle medie campionarie avrà una sua media, una sua varianza, etc. : m_M (media delle medie campionarie), s_M (varianza delle medie campionarie).

La deviazione standard dell'universo delle medie campionarie si chiama errore standard.

La media delle medie campionarie che è il valore atteso di M è uguale a m_M

Se m_M m cioè la media delle medie campionarie è uguale alla media dell'universo, diciamo che la media campionaria è un indice che è predittore equilibrato della media dell'universo.

Esercizi

Vengono estratte 2 sectiune da un mazzo. Qual'è la probabilità che non siano di cuori o che la prima più la seconda facciano come somma quattro, ma una sia di picche?

Abbiamo 6 libri di cui 2 indistinguibili del 1° tipo e 2 del 2°. In quanti modi possono essere ordinati in uno scaffale lineare se il 1° libro deve essere indivisibile di un tipo e l'ultimo indivisibile dell'altro tipo?