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tecnica |
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ESERCIZIO N° 19
Un punto materiale si muove con velocità costante lungo la circonferenza di un cerchio di raggio r=5m. esso compie un giro completo ogni 20s.
a) Quale è la velocità media del punto durante i primi 5s del suo moto ?
b) Quale è la velocità media del punto durante i primi 25s del suo moto ?
Poniamo T = 20s (periodo del moto) e t1 = 5s.
Allora si ha:
q(t1) – q(0) q(t1)
vm(t1) =
r = r
t1 – 0 t1
Ma q(t1) = wt1 dove w = 2p/T = 0,31 rad/s
Quindi q(t1) = 0,31∙5 = 1,57
e
vm(t1) = (5∙1,57)/5 = 1,57m/s
Posto ora t2 = 25s trattandosi di un moto circolare uniforme si ha che anche la velocità media è costante, quindi:
vm(t1) = vm(t2)
ESERCIZIO N° 20
Una freccia viene lanciata da un arco che le imprime una accelerazione costante per un tratto di 60cm. Se la sua velocità al momento in cui lascia l’arco è di 60m/s, che accelerazione le ha impresso l’arco ?
O d x
Si ponga d = 60cm = 0,6m
La velocità della freccia nel punto d è vd = 60m/s.
Il moto in esame è un moto rettilineo uniformemente vario, quindi dalla quarta equazione descrivente tale moto si ha:
vd2 = (vx0)2 + 2a(d – x0) con vx0 = velocità iniziale della freccia = 0
x0 = spostamento iniziale della freccia = (per come è stato
fissato il sistema di riferimento) = 0
Quindi vd2 = 2ad
da cui
vd2 3600 m2/s2
a = = = 3∙103 m/s2
2d 2∙0,6m
ESERCIZIO N° 21
Un treno partito da fermo si muove con accelerazione costante. Ad un certo istante viaggia a 30m/s e 160m più avanti la sua velocità è di 50m/s. Calcolare:
a) l’accelerazione;
b) il tempo che impiega a percorrere i 160m;
c) la distanza tra il punto di partenza e quello in cui il treno ha raggiunto la velocità di 30m/s;
d) il tempo richiesto per raggiungere la velocità di 30m7s.
Sia x0 = posizione iniziale = 0
v0 = velocità iniziale = 0
t1 = tempo impiegato per raggiungere i 30m/s
v(t1) = velocità al tempo t1 = 30 m/s
x(t1) = posizione al tempo t1
t* = tempo impiegato per percorrere i 160m
x(t2) = x(t1) + 160m = posizione, dall’origine, dopo aver percorso i 160m
a = accelerazione
v(t2) = velocità alla posizione x(t2) = 50m/s
Per calcolare l’accelerazione occorre tenere presente che:
[v(t2)]2 = [v(t1)]2 + 2a(x(t2) – x(t1)) = [v(t1)]2 + 2a(160)
da cui
[v(t2)]2 – [v(t1)]2
a = = 5m/s2
320
Per il tempo t*
x(t2) = x(t1) + ½ (v(t1) + v(t2)) t*
x(t1) + 160m = x(t1) + ½ (v(t1) + v(t2)) t*
da cui
320
t* = = 4s
v(t1) + v(t2)
Per la x(t1)
[v(t1)]2 = v02 + 2a(x(t1) – x0)
[v(t1)]2 = 2ax(t1)
da cui
[v(t1)]2
x(t1) = = 90m
2a
Il tempo t1 si ricava da:
x(t1) = x0 + ½(v(t1) + v0)t1
da cui
2x(t1)
t1 = = 6s
v(t1)
ESERCIZIO N° 22
Un punto
materiale A si muove lungo la linea retta y = d (=30m) con velocità costante v
(v = 3m/s) nella direzione dell’asse x positivo. Un secondo punto B parte
dall’origine con velocità iniziale nulla e con accelerazione costante a (a =
0,4m/s2) nello stesso istante in cui il punto A attraversa l’asse
y.
Quale
angolo dovrebbe formare a con l’asse y positivo perché si verifichi la
collisione ?
y
v
A punto di collisione
d = 30m q
a
B
x
Indichiamo con t* l’istante di tempo in cui avviene la collisione. In tale istante di tempo evidentemente si ha:
xA(t*) = xB(t*) dove xA(t*) = coordinata x del punto A al tempo t*
yA(t*) = yA(t*) xB(t*) = coordinata x del punto B al tempo t*
yA(t*) = coordinata y del punto A al tempo t*
yB(t*) = coordinata y del punto B al tempo t*
Si ha:
xA(t*) = vt*
xB(t*) = ½(ax)(t*)2 = ½ (a∙senq)(t*)2
yA(t*) = d
yB(t*) = ½(ay)(t*)2 = ½ (a∙cosq)(t*)2
Dal sistema precedente si ottiene quindi:
vt* = ½ (a∙senq)(t*)2
d = ½ (a∙cosq)(t*)2
da cui
2v
t* =
a∙senq
1 4v2
d =
a∙cosq
2 a2(1- cos2q)
2v2cosq
d =
a(1- cos2q)
2v
t* =
a∙senq
Dalla prima equazione si ottiene:
adcos2q + 2v2cosq – ad = 0
Risolvendo:
–2v2 ± 4v2 + 4a2d2 –18±30 –2
cosq =
= =
2ad 24 0,5
Delle due soluzioni ha significato solo quella positiva, quindi:
cosq = 0,5 q = 60°
ESERCIZIO N° 23
Un punto si muove su traiettoria rettilinea con accelerazione costante. Quando il punto mobile transita per il punto di ascissa x1 la sua velocità è v1, mentre quando transita per il punto di ascissa x2 la velocità è v2. Calcolare il valore dell’accelerazione.
Trattandosi di moto rettilineo uniformemente accelerato si ha:
v(t) = v0 + at
x(t) = x0 + v0t + ½ at2
Dalla prima equazione ricaviamo il tempo e sostituiamo nella seconda:
v–v0
t =
a
v0 1 (v–v0)2 v2 – v02
x = x0 + (v–v0) + a = x0 +
a 2 a2 2a
Con i dati del problema si ha:
v12– v02
x = x1 , v = v1 x1–x0 =
2a
v22– v02
x = x2 , v = v2 x2 – x0 =
2a
Sottraendo la prima relazione dalla seconda si ha:
1 v22 – v12
x2 – x1 = (v22 – v02 – v12 + v02) =
2a 2a
da cui
v22 – v12
a =
2(x2 – x1)
ESERCIZIO N° 24
In prossimità della superficie della Terra, in assenza di attriti, tutti i corpi sono sottoposti all’accelerazione di gravità g = 9,8m/s2, diretta verticalmente verso il basso.
Se un copro viene lanciato verticalmente verso l’alto con velocità v0, calcolare la massima quota e la velocità con cui ricade al suolo.
Nella fase di salita il moto è ritardato perché l’accelerazione di gravità e lo spostamento sono paralleli ma discordi:
v(t) = v0 – gt
SALITA 1
y(t) = y0 + v0t – gt2
2
Se il punto di lancio viene posto nell’origine ed il lancio è effettuato per t=0, si ha y0 = 0.
La massima quota ymax = h è caratterizzata dal fatto che vi si realizza un’inversione di marcia: La velocità, inizialmente diretta verso l’alto, diventa nulla, per poi iniziare la fase di discesa con direzione orientata verso il basso.
Dunque detto t* il tempo necessario a raggiungere la massima quota, si ha:
v(t*) = 0 =
v0 – gt* t* = v0/g
1 v02 1 v02 v02
ymax = h = v0t* – gt*2 = – =
2 g 2 g 2g
La fase di discesa è caratterizzata da una partenza a velocità iniziale nulla (vin = 0) da una quota h, con accelerazione concorde al verso di spostamento (moto accelerato).
Detto t=0 l’istante di inizio della fase di discesa si ha:
v(t) = vin – gt = –gt
DISCESA 1 1
y(t) = h + vint – gt2 = h
– gt2
2 2
L’arrivo al suolo avviene dopo un tempo t* tale che y(t*) = 0:
1 2h
y(t*) = 0 =
h – gt*2 t* =
2 g
La velocità di arrivo al suolo è:
2h
v = v(t*) = –
g = –
2gh
g
Tenendo conto che h = v02/2g si ha:
v02
v =
– 2g = –v0
2g
Il corpo arriva al suolo con una velocità pari, in modulo, a quella di lancio, ma con verso opposto.
ESERCIZIO N° 25
Un proiettile è sparato orizzontalmente con velocità iniziale v0 = 50m/s da una posizione a quota h = 100m rispetto al suolo orizzontale. In assenza di attriti, con quale inclinazione rispetto al suolo il proiettile arriva a terra ?
Si consideri la ura:
y
v0
h vx
q x
vy
Per calcolare l’angolo q basta ricavare le componenti vx e vy della velocità nel punto di arrivo al suolo. Infatti:
tgq = vy/vx
Le equazioni delle componenti della velocità sono:
vx = v0 (poiché ax = 0 e quindi vx = cost)
vy = –gt (ay = –g e vy(0) = 0)
Il tempo t* impiegato ad arrivare al suolo si ricava dall’equazione per la coordinata y, tenendo conto che al tempo t* è y(t*) = 0:
1
y(t*) = h
– gt*2 = 0
2
Da ciò si ricava
2h
t* =
g
Dunque
vx(t*) = v0 = 50m/s
2h
vy = –
g = – 2gh
= –44,3m/s
g
tgq = vy(t*)/vx(t*)
=0,885 q = 41,5°
ESERCIZIO N° 26
Un punto materiale è lanciato orizzontalmente, con velocità v0, dalla sommità di una torre. Ricavare l’espressione, in funzione del tempo, delle componenti tangenziale e normale dell’accelerazione.
Il moto, in assenza di attriti, avviene con accelerazione pari all’accelerazione di gravità g.
y
v0 n
an at vy q v
vx t
g t
x
a = g
an = gsenq
at = gcosq
g = an2 + at2
Il calcolo dell’angolo q può essere fatto a partire dalle componenti sectiunesiane della velocità:
tgq = vy/vx
dove
vx = v0
tgq = – v0/gt
vy = –gt
Nelle espressioni an = gsenq, at = gcosq, occorre ora esprimere senq e cosq in funzione di tgq:
tgq
senq =
1+ tg2q
1
cosq =
1 + tg2q
v0 1 gv0
an = gsenq = g =
gt v02 v02 + g2t2
1 +
g2t2
1 g2t
at = gcosq = g =
v02 v02 + g2t2
1 +
g2t2
ESERCIZIO N° 27
Un proiettile è sparato orizzontalmente con velocità v0 = 30m/s. In assenza di attriti, qual è il raggio di curvatura della traiettoria dopo 2s dal lancio ?
Procedendo come nell’esercizio n.26 si ha
vx = v0
v = vx2 + vy2 =
v02 + g2t2
vy = –gt
ed inoltre
gv0
an =
v02 + g2t2
Il raggio di curvatura è dato dalla relazione:
v2 v2 (v02 + g2t2) (v02 + g2t2)3/2
a0 = R = = v02 + g2t2 = = 156,5m
R an gv0 gv0
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