DISTANZA FRA DUE PUNTI -

DISTANZA FRA DUE PUNTI

In geometria per determinare la distanza fra due punti è necessario utilizzare un righello oppure utilizzare, per esempio, similitudini fra triangoli e determinare la lunghezza del segmento delimitato dai due punti in relazione a segmenti noti. Vediamo ora come è possibile determinare la distanza fra due punti in geometria analitica. Siano A e B due punti con la stessa coordinata x : A (3, 5) e B (3, 1). Come si vede dalla ura 2 la distanza fra i punti A e B è data dalla differenza fra la coordinata y di A e la coordinata y di B; 5 - 1 = 4 quindi AB = 4. Se i due punti hanno la stessa coordinata y la distanza fra i due punti è data dalla differenza delle coordinate x dei punti. Se prendiamo ora i punti C e D in ura la differenza fra le coordinate x è: -3 - 6 = -9 e quindi CD = -9.

Ma una lunghezza non può essere negativa, infatti un segmento ha sempre lunghezza positiva o nulla e quindi la differenza delle coordinate va presa sempre positiva ovvero si prende il 'valore assoluto'.

Il valore assoluto di un numero n si indica con ¦n¦ e vale n se n>0, -n se n<0; il valore assoluto di 2 è 2 mentre il valore assoluto di -2 è ancora 2. Allora la distanza CD é:

CD = ¦ -3 - 6 ¦ = ¦ -9 ¦ = 9.

Si deve notare che:

DC = ¦ 6 - (-3) ¦ = ¦ 6 + 3 ¦ = ¦ 9 ¦ = 9

come è ovvio che sia poiché CD e DC sono lo stesso segmento.

Per determinare la distanza fra due punti A (1, 1) e B (3, 5) non aventi né la stessa ascissa né la stessa ordinata si nota che il triangolo ABC è rettangolo, di cui il segmento AB è l'ipotenusa e i segmenti AC e BC i cateti. Applicando il teorema di Pitagora, tenendo conto che

AC = 2 e BC = 4 otteniamo:

AB = Ö(22+ 42) = Ö(4 + 16) = Ö20.

Nel caso generale di distanza fra i punti A (a, b) e B (c, d) (vedi ura 4) dove a, b, c, d sono le coordinate dei punti, applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABC otteniamo:

AB = Ö[( a - c )2+ ( c - d )2].