7.7 ESERCIZI

Esercizio N° 1

Un componente ha una funzione affidabilità di tipo esponenziale: R(t)=exp(-lt).

Calcolare R(t₁) per t₁ = 2 anni, sapendo che R(t₀)=0.99 con t₀ = 1 anno.

Esercizio N°2

Un lotto di provini di materiale isolante destinato a funzionare a tensione Vo =12 kV, viene sottoposto a prove di vita accelerate. In corrispondenza del valore di tensione V =25 kV si trova un MTTF m₁=7.92 h; si calcolino, per tale prova accelerata, i tempi:

a) t₁ , necessario alla scarica del 50% dei provini;

b) t₂ , necessario alla scarica del 90% dei provini

supponendo che la funzione affidabilità sia di tipo esponenziale:   R(t)=exp(-lt)

Un altro lotto dello stesso  materiale viene sottoposto a V₂=30 kV in corrispondenza del quale si trova m₂=0.58 h.

Supponendo che l'MTTF segua il modello:

si calcoli:

c) l'MTTF del materiale in condizioni nominali;

d) il tempo t₃ , tale che: R(t₃)=0.5;

e) il tempo t₄ , tale che: R(t₄)=0.1.

Sapendo che nel caso di funzione affidabilità di tipo Esponenziale il tasso di guasto l coincide con il reciproco dell'MTTF, ossia l = 1/m, si può ricavare sia il tempo t₁ che t₂.

Infatti:

Al fine di determinare l'MTTF del materiale in condizioni nominali (V=V₀), si applichi la legge della potenza inversa sia per V=V₁ che per V=V₂; da cui:

Noto m₀ si può ricavare R(t) in condizioni nominali R(t)=exp(-lt) e successivamente t₃ e t_4:

t₃=-m₀ ln (0.5) = 23 anni

t₄=-m₀ ln (0.1) = 77 anni

Esercizio N° 3

Consideriamo il sistema indicato in ura, in cui le capacità di generatori e linee sono rispettivamente   c(g₁) = c(g₂) = c(l₁) = c(l₂) = 180 MW.

Si suppone che l'affidabilità dei componenti sia di tipo Esponenziale, ossia R_i(t)=e^-l_i^t e che fissato Dt=1 anno, risulti:

q_g1 = q_g2 = 0.05 

q_l1 = q_l2 = 0.02

W (punta di carico annuale)=100 MW

Si calcoli:

a. l'affidabilità del sistema in un anno;

b.R(t) in un intervallo di tempo qualsiasi (non superiore ad un anno);

c. l'MTTF del sistema.

L'affidabilità del sistema in un anno è data da:

La funzione affidabilità in un intervallo di tempo qualsiasi è invece:

in cui l_g e l_l possono essere ricavati dalle seguenti relazioni:

In definitiva risulta:

Si noti che t non può essere superiore ad un anno, perché conosciamo la punta di carico annuale!

Nota R(t) è semplice determinare l'MTTF, infatti:

Esercizio N°4

Consideriamo il sistema indicato in ura, ottenuto dal precedente con l'aggiunta della linea 3.

Calcolare l'affidabilità del sistema in un anno nei casi seguenti:

a.   la capacità della linea 3 è di 100 MW

b.   la capacità della linea 3 è di 80 MW

a) Per determinare l'affidabilità del sistema si può utilizzare la probabilità totale, condizionando rispetto a l₃ e si ottiene:

Si noti che P(S/L₃) è affidabilità del sistema seguente:

equivale all'affidabilità in un anno del sistema dell'esercizio precedente (N° 3).

In definitiva risulta:

b) La linea l₃ non ha una capacità sufficiente ad alimentare il carico, per cui, avendo implicitamente fatto l'ipotesi di linee indipendenti, dal punto di visto affidabilistico è come se non ci fosse. L'affidabilità del sistema è, quindi, uguale a quella dell'esempio precedente.

Esercizio N°5

Supponiamo che una linea elettrica trifase lunga 20 km sia sottoposta a 3 tipi di corto circuito (monofase, bifase, trifase) con frequenze diverse:

l (km^.anno)^-l

l (km^.anno)^-l

l (km^.anno)^-l

Assumendo indipendenti i tre tipi di guasto, calcolare:

a)   probabilità di avere almeno un corto circuito;

b)   tempo medio al primo corto circuito.

Il sistema rispetto ai corto circuiti si comporta come un sistema serie, infatti non si guasta (cc) se e solo se non si ha nessuno dei tre tipi di c.c. ; oppure detto T l'istante del primo c.c., è T = min

Detto Nc il numero di c.c. (di qualsiasi tipo) in un anno, è:

E' evidente che la probabilità di non avere guasti trifase è la maggiore.

Il tempo medio al 1° c.c. altro non è che l'MTTF del sistema, ossia:

Cioè:

In media, occorre un c.c. qualsiasi ogni 6 mesi.