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PROPRIETA’ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER - PROPRIETA’ DELLA CONVOLUZIONE - FORMULE UTILI

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PROPRIETA’ DELLA TRASFORMATA DI FOURIER

1)       ADDITIVITA’: x(t)=a1x1(t)+…+anxn(t) T X(f)=a1X1(f)+…+anXn(f) 

2)     x(t) reale T X(f)=X*(-f)



3)     x(t) reale e PARI Û X(f) REALE (e pari)
x(t) reale e DISPARI
Û X(f) IMMAGINARIA (e pari)

4)     PRINCIPIO DI DUALITA’:  F[X(t)]=x(-f)

5)     CONIUGAZIONE: F[x*(t)]=X*(-f)

6)     AREA SOTTESA DA x(t):    òx(t)dt=X(0)

7)     TRASLAZIONE NEL TEMPO:   z(t)=x(t-t0) T Z(f)=

8)     TRASLAZIONE IN FREQUENZA:   Z(f)=X(f-f0) T z(t)=

9)     CAMBIAMENTO DI SCALA:   z(t)=x(kt) (k>1 compressione, k<1 espansione) T Z(f)=

10)  DERIVAZIONE:   Se  T B(f)=j2pfA(f)

11)    INTEGRAZIONE  Se b(t)= T B(f)=

PROPRIETA’ DELLA CONVOLUZIONE

1)       x(t)*y(t)= y(t)*x(t)

2)     Se x(t) dura tx e y(t) dura ty la convoluzione durerà tx+ty

3)     Se x(t)*y(t)=a(t) allora x(t-t0)*y(t)=a(t-t0) e x(t-t1)*y(t-t2)=a(t-t1-t2)

4)     x(t)*d(t)=x(t)

FORMULE UTILI

serie di fourier   x(t)=axkej2pk/Tt  con

convoluzione   x(t)*y(t)=

correlazione per segn.di energia     Ryx(t)= ==x(t)*y*(-t)

correlazione per segn.di potenza    Ryx(t)==

densità spettrale di potenza per segn.periodici x(t)=:  Dx(f)=

filtro passa-basso rc   con  e ; h(t)=


varianza di una somma  var(x+h)=var(x)+var(h)+2cov(x,h)  con cov(x,h)=E[xh]-E[x]E[h]=m11-mxmy

ovvero: sx+y2=sx2+sy2+2cov(x,h)

funz. caratteristiche:  Gaussiana  Cx(u)=,   Cauchy  Cx(u)=e-a|u|


TIPS & TRICKS

La potenza di Acos(2pf0t+j) è P=A2/2.

Potenza ed energia sono invarianti per traslazione.

I coeff. xk della serie di Fourier si possono calcolare anche con la trasf. G(f) della f.elementare g(t).

Quando l’ingersso di un sistema è una funzione periodica, è conveniente svilupparla secondo Fourier e poi calcolarsi lo spettro, che sarà un treno di impulsi.

                      T     

L’autocorrelazione è invariante per traslazioni quindi autocorrelaz.di Asen(2pf0t+q)=autocorrelaz.di Asen(2pf0t)

La mutua correlaz.invece, è invariante per traslaz.solo se x(t) e y(t) traslano dello stesso valore.

L’autocorrelazione inoltre è periodica dello stesso periodo della funzione correlante.

Risposta ad un segnale armonico Aej2pf0t: A|H(f0)|ejF(f0)ej2pf0t.

Risposta ad un segnale Acos(2pf0t+j): A|H(f0)|cos[2pf0+j+jH(f0)] (sistema lineare)

Tieni presente che rectD(t-t0)=u-l[t-(t0-D/2)]­-u-l[t-(t0+D/2)]

Se in un sistema lineare x(t)®y(t) allora

Quando la relazione che lega y(t) a x(t) è di tipo differenziale, conviene operare nel dominio della frequenza.

d2(t)=,poiché d(t)x(t)=d(t)x(0),=d(t)d(0) ovvero un’impulso di area ¥.

Ricordati di raddoppiare X+(f) quando calcoli Zx(f)

Per calcolare le componenti analogiche di bassa frequenza si può vedere se  è facilmente scomponibile nelle parti pari e dispari.



h(t)=e-atu-l(t) T jhh(t)=A0e-a|t| con A0=1/2a.

Sia nella convoluzione che nella correlazione la y(t-t) si sposta da sinistra a destra per le t (o t) crescenti.

xs e xc si ottengono da x(t) moltiplicando per sen(2pf0t) e cos(2pf0t) e poi facendoli passare in un passa-basso.


Media e varianza di alcune densità si possono calcolare tramite la funzione caratteristica.

Per calcolare E[h] conoscendo E[h|x] si ha che E[h]=Ex[E[h|x]] (attento al significato di quest’ultimo termine).

Per risolvere alcuni integrali, specialmente quelli con le gaussiane in mezzo, a volte bisogna mettere in evidenza l’integrale di una densità di probabilità, in modo tale da poterlo poi porre a 1 (anche se mx è complesso), oppure a volte si può mettere in evidenza anche un momento (es.s2) (vedi .3.3).

w=x+h gaussiane indipendenti è ancora gaussiana (si può vedere tramite la f.caratteristica) con mw=mx+my e .

Quadratore: fh(y)=

Una Raileigh in un quadratore h=x2 dà in uscita una esponenziale.

Una gaussiana in un quadratore non dà niente di noto.

w=gaussiane con m=0 e sx=sy è una Raileigh

Se una fxh(x,y) è separabile in un prodotto f1(x)×f2(y) allora x e h sono indipendenti.

Se X e Y sono indipendenti E[XY]=E[X]E[Y] (attenzione E[X×X]=E[X]×E[X] non vale!).

Variabili bidimensionali: fx+h(w)=òfxh(x,w-x)dx

Composizioni di 2 variabili aleatorie e variabili bidimensionali possono essere risolte graficamente.

Nelle composizioni di variabili aleatorie h=g(x) secondo una y=g(x), si può usare sui rami e poi al limite sommare se i rami corrispondono a uguali valori di y. (vedi esercizio .9 sugli appunti)

Z=X2+Y2 gaussiane con m=0 e s2 è esponenziale

Variabili che assumono solo valori positivi si possono spostare dentro o fuori i moduli (es. A|cos(t)|=|Acos(t)| )


Ricordati che Cxx(0)=s2 e Rxx(0)=E[X2(t)]=m2=m11.

Cxx(0) e Rxx(0) si possono calcolare dagli integrali da -¥ a +¥ delle loro F-trasformate.

Ricorda che la correlazione per i processi è la media E[X(t)X*(t-t)].

La correlazione E[Y(t)Y*(t-t)] può essere calcolata in funzione di X(t) conoscendo E[X(t)X*(t-t)].

Anche ai processi si può applicare la linearità di E considerando le parti legate a t come delle costanti.

Nelle correlazioni ricordati il coniugato! E[XX*].

Essendo Rxx(t)=Cxx(t)+mx2, la sua trasformata Sxx(f) avrà in 0 un impulso di ampiezza mx2 a meno che mx=0.

L’autocorrelazione (e la covarianza) di un processo armonico è Rxx(t)=Cxx(t)=(1/2)E[A2]cos(2pf0t).

Onda p.a.m. stazionaria con simboli SSL ha mX= , Rxx(t)=.

L’autocorrelazione all’uscita di un quadratore Ryy(t1,t2)=E[X2(t1)X2(t2)]=E[X1X2X3X4], poiché per x1,x2,x3,x4 gaussiane si ha E[x1x2x3x4]=R12R34+R13R24+R14R23, allora per un processo gaussiano X, vale Rxx(t1,t1)Rxx(t2,t2)+ +2Rxx(t1,t2)Rxx(t1,t2) e se il processo è SSL vale Rxx2(0)+2Rxx2(t).

L’ autocorrelazione di un segn.armonico Acos(2pf0t+j) è Rxx(t)=A2/2cos(2pf0t).

Spesso ci sono delle onde p.a.m.camuffate (attento alla g(t-kT-q)).

Se X(t) è SSS, X(t) e X(t-t0) hanno la stessa fx(x) (non dipende da t).

R di un processo derivato è Ryy=.

Un segnale fatto di rect si può scomporre in rect che passa in un sistema con h(t) fatto di impulsi.

Tenere presente tutti i teoremi di Parseval.

ae-j2pkTf=Fad(f-kF) con F=1/T.

Tieni presente che F-l=j2ptx(t).

Nelle integrazioni con u-l(t) attenzione a metterlo anche dopo (sulla f.integrata).

Sen(2pf0t+j) e cos(2pf0t+j) sono ortogonali (infatti )

Anche cos(2pf1t) e cos(2pf2t) sono ortogonali.

Quando un processo gaussiano entra in un sistema, quasi sempre ne esce un altro gaussiano.

ESERCIZI IMPORTANTI

11 1.17

19  1.31

24 2.31





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