Raccolta di esercizi sul teorema di Bayes

da temi d'esame di matematica b

ESERCIZIO 1

Tra i partecipanti ad un concorso per giovani compositori il 50 % suona il pianoforte, il 30% suona il violino e il 20% la chitarra. Partecipano ad un concorso per la prima volta il 10% dei pianisti, il 33% dei violinisti e il 10% dei chitarristi. Applicando i concetti di probabilita' condizionata e il teorema di Bayes, rispondere alle seguenti domande.

a)  Qual è la percentuale di aspiranti compositori alla prima esperienza?

b)  Sapendo che ad esibirsi per primo sarà un compositore alla prima esperienza, qual è la probabilità che sia un chitarrista?

Soluzione

P=

V=

C=

I=

dati

f(P)=0.50, f(V)=0.30, f(C)=0.20 f(P)+f(V)+f(C)=1

f(I|P)=0.10, f(I|V)=0.33, f(I|C)=0.10

f(I)=f(I|P)f(P)+f(I|V)f(V)+f(I|C)f(C)=0.10 0.50+0.33 0.30+0.10 0.20=0.17

ESERCIZIO 2

Un gruppo di escursionisti organizza una gita in montagna. Il 30% dei partecipanti e' fuori allenamento. Si ipotizza che coloro che non sono allenati abbiano una probabilita' di raggiungere la meta pari al 60% e che quelli allenati abbiano una probabilita' pari al 95%.

a)  Qual e' la probabilita' che un escursionista scelto a caso nel gruppo raggiunga la meta?

b)  Sapendo che un escursionista ha raggiunto la meta, con quale probabilita' appartiene al gruppo degli escursionisti allenati?

Soluzione

FA=

A=

NM=

M=

Dati

f(FA)=0.30

f(A)=1-f(FA)=0.70

p(M|FA)=0.60

p(M|A)=0.95

p(M)=p(M|FA)f(FA)+p(M|A)f(A)=0.60 0.30+0.95 0.70=0.85

ESERCIZIO 3

Tra i villeggianti di una localita' di mare, il 75% trascorre le vacanze sempre nello stesso posto, il 25% solo saltuariamente. Il 60% dei villeggianti abitudinari possiede una casa e cosi' il 10% dei villeggianti saltuari.

Sapendo che un villeggiante scelto a caso possiede una casa, con che probabilita' si tratta di un abitudinario?

Soluzione

A=

S=

C=

NC=

Dati

f(A)=0.75

f(S)=0.25

f(C|A)=0.60

f(C|S)=0.10

ESERCIZIO 4

Un autobus di linea effettua il collegamento tra due stazioni A e B seguendo 2 percorsi alternativi 1 e 2. La frequenza con cui segue il primo percoso e' pari a 0.3, quella con cui segue il secondo e' pari a 1 - 0.3 = 0.7. Un gruppo di pendolari riesce a prendere il suddetto autobus con probabilita' pari a 0.25 quando questo percorre il tragitto 1 e con probabilita' 0.65 quando questo percorre il tragitto 2. Sapendo che il gruppo di pendolari non e' riuscito a prendere l'autobus, con che probabilita' esso ha seguito il percorso 1?

Soluzione

A=

B=

Dati

f(1)=0.3

f(2)=0.7

p(A|1)=0.25

p(A|2)=0.65

dove:

p(B|1)=1-P(A|1)=0.75

p(B|2)=1-P(A|2)=0.35

p(1|B)=0.48

ESERCIZIO 5

Un gruppo di amici sono soliti frequentare una sala cinematografica, che proietta film di prima visione (PV) per il 60% e film d'essay (E) per il 40 % della programmazione. Il gruppo di amici va al cinema con probabilita' pari a 0.4 nel caso in cui sia in programma un film di prima visione e con probabilita' pari a 0.7 nel caso di film d'essay. Sapendo che mercoledi' scorso il gruppo di amici e' andato al cinema, con che probabilita' il film era di prima visione?

Soluzione

A=

Dati

f(PV)=0.6

f(E)=0.4

p(A|PV)=0.4

p(A|E)=0.7

ESERCIZIO 6

Un gruppo di bagnanti e' costituito per il 65% da persone di carnagione scura (S) e per il rimanente 35% da persone di carnagione chiara (C). L'uso non appropriato di creme solari fa si' che si abbia una percentuale di persone danneggiate dal sole (U) del 10% se di carnagione scura e del 60 % se di carnagione chiara.

Sapendo che un bagnante scelto a caso si e' ustionato al sole, con che probabilita' egli ha una carnagione chiara?

Indicare inoltre le seguenti probabilita' condizionate:

P(NU|S) = probabilita' che un individuo scuro non si ustioni;

P(NU|C) = probabilita' che un individuo chiaro non si ustioni;

P(S|U) = probabilita' che un individuo che si e' ustionato abbia carnagione scura.

Soluzione

Dati

f(S)=0.65

f(C)=0.35

p(U|S)=0.1

p(U|C)=0.6

=0.76

p(NU|S)=1-p(U|S)=0.9

p(NU|C)=1-p(U|C)=0.4

p(S|U)=1-p(C|U)=0.24

ESERCIZIO 7

La percentuale di studenti iscritti al secondo anno di ingegneria che frequenta il corso di statistica e' del 90%. Si suppone che, tra questi, il 90% superera' l'esame. Supponendo inoltre che la percentuale di studenti che non supereranno l'esame sia del 12%, si calcoli:

qual e' la percentuale di studenti che non superera' l'esame tra quelli che non frequentano il corso;

qual e' la percentuale di studenti che non frequentano tra quelli che si ipotizza non supereranno l'esame.

Soluzione

F=

NF=

E=

NE=

Dati

f(F)=0.9

p(E|F)=0.9

p(NE)=0.12

p(NE|NF)=

Esercizio 8

Sullo scaffale di un supermercato sono esposti 3 diversi tipi di detersivi per la casa, più precisamente il 25% è del tipo A il 40% è del tipo B. L'1% dei detersivi di tipo A sono danneggiati e così lo 0.5% del tipo B e l'1.5% del tipo C.

Qual è la percentuale dei flaconi danneggiati?

Preso un flacone a caso e trovatolo danneggiato, con che probabilità è di tipo A?

Esercizio 9

Nella dispensa sono disposte due ceste di fichi. Nella prima il 30% sono molto maturi, nella seconda i fichi molto maturi sono solo il 10%. Preso a caso un fico e trovatolo molto maturo, con che probabilita' esso proviene dalla prima cesta?