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CAPITOLO 9
Stabilità delle reazioni
In generale, dato un sistema che presenta una funzione di trasferimento F(s), dove s=s+jw, condizione necessaria affinché il sistema sia stabile è che i poli di F(s) non compaiono nel semipiano positivo (zero compreso) delle s
Limitando il
discorso agli amplificatori, vediamo ora un criterio per determinare la
loro stabilità.
Il sistema che prendiamo in analisi presenta dunque un anello di reazione e una funzione di trasferimento con questa forma:
Facciamo l'ipotesi che i blocchi G e H siano in partenza stabili, in altre parole non abbiano poli per s
Questo significa che neanche il denominatore di GF
presenta dei poli.
Immaginando di scomporre M(s) in numeratore N(s) e denominatore D(s), abbiamo che, per le ipotesi fatte, D(s) non presenta poli per s 0. Quindi non resta che stabilire se N(s) presenta degli zeri, oppure, equivalentemente, se M(s) presenta degli zeri.
In conclusione si ha stabilità quando 1+GH non presenta zeri (né poli per ipotesi) per s
Per determinare il numero e la posizione dei poli possiamo utilizzare un risultato della teoria delle funzioni analitiche che mette in relazione il comportamento di F(s) con il numero dei suoi zeri e dei suoi poli.
Con riferimento alle
. 9.2a e 9.2b, la quantità 
è uguale al numero di inviluppi di F(s) intorno all'origine
(il verso di rotazione dipende da quale delle due quantità è maggiore). Se il
dominio D scelto non comprende poli e zeri, oppure se il numero dei poli è
uguale al numero degli zeri, F(s) non inviluppa l'origine (inviluppare l'origine=compiere un giro completo intorno
all'origine).
Per le considerazioni precedenti, sappiamo che la nostra F(s) non presenta poli per s 0; di conseguenza, qualunque contorno contenuto nel semipiano s 0 noi consideriamo, la nostra F(s) non dovrebbe inviluppare l'origine. Se ciò accade significa che esiste almeno uno zero nel semipiano s 0 e quindi il sistema è instabile. Il contorno più grande che possiamo considerare è quello che contiene tutto il semipiano s 0, quindi:
In definitiva, noi dobbiamo studiare la quantità 1+G(s)H(s) nell'intorno dell'origine; se questa funzione contorna l'origine il sistema è instabile, altrimenti è stabile.
Equivalentemente, ed è quello che faremo, possiamo studiare la funzione G(s)H(s) nell'intorno di 1. Inoltre, siccome G(s)H(s) è a coefficienti reali, è simmetrica rispetto all'asse reale, quindi possiamo limitare lo studio all'intervallo [0,+
Per fare questo utilizziamo un diagramma polare ( 9.3b), su cui disegniamo, al variare di jw da 0 a + , il modulo e la fase di GH.
9.3b
In ura 9.3a compaiono due forme tipiche di GH(jw) per gli amplificatori. Vediamo che la curva che passa tra 0 e 1 (non contorna l'1) indica un sistema stabile, mentre la curva che passa oltre l'1 indica un sistema instabile.
Il criterio che abbiamo visto è teorico. Nella pratica occorre avere un margine maggiore per decidere se un sistema è stabile oppure no.
Consideriamo la
fase di GH quando |GH|=1; nell'esempio di
9.4, la curva che passa internamente a 1 interseca la circonferenza di
raggio 1 nel punto A, e qui la fase a vale circa 225°; la curva che passa esternamente a 1 interseca la
circonferenza nel punto B, e qui la fase a vale circa 135°.
Definizione: Margine di fase = fase di GH (quando |GH|=1) - 180°
Nell'esempio il margine di fase della prima curva è 225°-l80°=45°, il margine di fase della seconda curva è 135°-l80°=-45°.
Il criterio teorico, tradotto secondo il margine di fase, dice:
se margine di fase > 0 T sistema stabile
se margine di fase < 0 T sistema instabile
Il criterio pratico dice:
se margine di fase T sistema "ingegneristicamente" stabile
se margine di fase < 45° T sistema "ingegneristicamente" instabile
Definizione: Margine di guadagno (in dB) = |GH| quando fase di GH=180°
Nell'esempio, quando la fase è 180°, la prima curva ha modulo <1, quindi il margine di guadagno è >0, la seconda ha modulo >1, quindi il margine di guadagno è <0.
Il criterio teorico, tradotto secondo il margine di guadagno, dice:
se margine di guadagno > 0 T sistema stabile
se margine di guadagno < 0 T sistema instabile
Il criterio di Bode discende da quello di Nyquist ma è più semplicistico. Nonostante questo, per noi va benissimo, perché limitiamo il nostro studio agli amplificatori.
Esiste una precisa corrispondenza tra il grafico di 9.4a e quello di . 9.4b. A destra abbiamo il comportamento modulo/fase di GH al variare di jw, tracciato su un diagramma polare, a sinistra abbiamo il comportamento del modulo di GH, tracciato su un diagramma di Bode. Al diminuire della fase (da -45° a -l80°) il modulo diminuisce fino a diventare minore di 1: questo accade a destra quando la curva interseca la circonferenza unitaria, a sinistra quando la curva passa al di sotto dell'asse X (0 dB).
Il criterio di Nyquist ci dice che una curva di questo tipo ( 9.4b) indica instabilità del sistema. A sinistra ( 9.4a) osserviamo che la curva taglie l'asse X con una pendenza di -40dB/decade.
In questo secondo caso il criterio di Nyquist ci dice che il sistema è stabile, perché la curva non contorna l'1. In 9.5a osserviamo che la curva taglia l'asse X (cioè |GH| diventa minore di 1, o minore di 0dB) quando la sua pendenza è pari a -20dB/decade. In . 9.5b notiamo che la curva taglia la circonferenza unitaria con un margine di fase maggiore di 45°, viene quindi rispettato la condizione "pratica" di stabilità.
Da queste considerazioni si può dedurre che la curva del modulo di GH non deve tagliare l'asse X con un'inclinazione superiore a -20 dB/decade, altrimenti il sistema è (praticamente) instabile. Il caso estremo si ha quando il margine di fase è proprio 45°, cioè quando la curva a destra taglia la circonferenza unitaria proprio a -l35° (cioè a 225°). Questo caso è rappresentato dai grafici di 9.6 a e 9.6b; a sinistra abbiamo che l'inclinazione della curva cambia proprio nel punto di intersezione con l'asse X.
Chiamando a il polo a sinistra e b il polo a destra, quando si verifica questa condizione abbiamo che la seguente relazione è vera:
Infatti il segmento di curva che unisce i due poli ha un'inclinazione di -20dB/decade, cioè è inclinata di 45 gradi, quindi la distanza che separa i due poli sull'asse X è pari alla distanza che li separa sull'asse Y, distanza pari a G0H.
Abbiamo visto in precedenza che quando questa relazione è soddisfatta il sistema presenta i seguenti valori:
Q=1, k=1/2 e w a
Consideriamo uno dei quattro amplificatori, per esempio l'amplificatore di tensione, rappresentato in . 9.7.
Come sappiamo,
per calcolare il guadagno di anello dobbiamo eliminare il generatore
esterno ed esprimere vi in funzione di (a seconda di quale definizione di Ga
si utilizza)
:
La curva di risposta in frequenza di un amplificatore operazionale ha il tipico andamento rafurato in . 9.8.
Questo è
l'andamento tipico della curva di risposta di un amplificatore operazionale
non compensato; essa presenta 3
poli naturali. Ora vogliamo
disegnare la curva di risposta dell'amplificatore di tensione, considerando
quindi l'effetto della reazione. In altre parole vogliamo disegnare
l'andamento di |Ga|.
Guardando la formula che ci fornisce Ga,
possiamo vedere che l'andamento di |Ga| è graficamente pari alla
somma degli andamenti di |A| e di 
. In 9.9 sono rappresentati separatamente i grafici
relativi a queste due quantità.
Nota che:
, quindi la retta oizzontale che rappresenta questa
quantità rimane sotto l'asse a 0 dB.
Sommando i due
grafici otteniamo il grafico di 9.10, che è uguale al grafico di |A|
ribassato di una quantità pari al partitore delle resistenze. Se il
partitore valesse 1 (=0dB), non ci sarebbe nessuna modifica all'andamento;
più il partitore ha un valore vicino a zero, maggiore è l'abbassamento. Se
l'abbassamento è sufficientemente grande, il sistema diventa stabile,
perché la curva taglia l'asse 0dB con un'inclinazione di -20dB/decade; se
l'abbassamento è insufficiente, il sistema è instabile. |G a|
Un modo per stabilizzare l'anello è quello del polo dominante. In generale occorre inserire un blocco di compensazione C all'interno dell'anello di reazione ( 9.11)
Come
rappresentato in 9.12, si tratta di inserire un polo ad una frequenza
molto bassa, in modo da ridurre la pendenza della curva. f1 : primo polo naturale fc : polo di compensazione In questo modo
la curva taglia l'asse 0dB con una pendenza di -20dB/decade e il sistema è
stabile.
Nota che vale la seguente relazione:
Infatti, visto che un'inclinazione di 20dB/decade significa un'inclinazione di 45°, la distanza che separa i due poli è pari all'altezza massima della curva.
Inserendo il polo di compensazione otteniamo un sistema con 4 poli, ma i due poli naturali più a destra si trovano molto sotto all'asse 0 dB e quindi sono trascurabili (ricorda che a 0dB il guadagno è pari a 1).
Riassumendo: l'abbassamento dovuto al partitore e il polo di compensazione sono due fattori concomitanti che portano il sistema alla stabilità. Se l'abbassamento è grande, il polo di compensazione può essere messo a una frequenza più grande; se l'abbassamento è piccolo, al limite nullo, il polo di compensazione deve essere messo a una frequenza molto bassa.
La curva dell'amplificatore compensato risultante è rappresentata in 9.13.
Indicativamente,
il polo di compensazione cade a una frequenza intorno a 1 Hz, mentre il
polo naturale si trova generalmente intorno ai 50-l00 kHz. Per inserire il
polo di compensazione occorre mettere un condensatore in parallelo al
segnale; negli amplificatori operazionali il condensatore utilizzato ha un
valore di circa 10 pF sfrutta
l'effetto Miller (vedi su slide il valore C0).
Un polo a così bassa frequenza apparentemente non comporta nessun problema. In realtà il guadagno di anello inizia ad abbassarsi già a basse frequenze, e tutti vantaggi legati all'avere un alto guadagno subiscono una diminuzione: il comportamento dell'anello non è più efficace come prima (insensibilità ai rumori, valore preciso nel guadagno di anello).
Un'altra soluzione consiste nell'introduzione di una coppia polo-zero. Immaginiamo di avere un sistema instabile avente la curva di risposta rappresentata in . 9.14.
Sul grafico
e anche l'eventuale polo di compensazione, ad una frequenza molto
bassa. Proviamo ora ad
inserire uno zero alla stessa frequenza del primo polo naturale (quello a
frequenza minore), annullo quel polo e la curva si modifica come descritto
in . 9.15. Otteniamo una
curva traslata a destra, dove quello
che era il secondo polo è diventato il primo polo. Se a questo punto
vogliamo inserire il polo di compensazione, possiamo metterlo più a destra
rispetto alla situazione precedente, in modo che il guadagno rimanga alto
per un campo di frequenze più ampio.
Abbiamo già visto in precedenza che per piazzare una coppia polo-zero occorre inserire in parallelo al segnale una coppia resistenza - condensatore; la posizione dello zero dipende dai valori di R e C, quindi posso piazzare lo zero con grande precisione.
Quelle che abbiamo visto sono le uniche due tecniche applicate agli amplificatori operazionali.
Consideriamo il circuito integratore di
. 9.16 e calcoliamo il guadagno di anello Ga con la solita
procedura:
Disegniamo sul
diagramma di Bode il grafico dell'andamento di |A| (classica curva a tre poli
dell'amplificatore operazionale) e dell'andamento di 
(. 9.17).
La curva a
tratto sottile rappresenta l'andamento di |A|, mentre la curva a tratto
spesso rappresenta l'andamento di Come si può
vedere, quando s , la seconda curva tende a 0dB (cioè a 1). Se adesso
sommiamo graficamente le due curve, otteniamo il grafico di . 9.18.
.
Si vede
chiaramente (criterio di Bode) che il sistema è instabile. Se applichiamo
ora il metodo del polo dominante, otteniamo il risultato presentato in .
9.19.
Nonostante
l'introduzione del polo di compensazione, il sistema è ancora instabile.
Infatti, in questo caso, il punto da prendere come polo di compensazione
non è l'intersezione tra la curva di
risposta C e la retta R con pendenza 20dB/decade che parte dal primo polo naturale.
Consideriamo il
circuito derivatore di 9.21 e immaginiamo che l'amplificatore
operazionale impiegato sia compensato internamente (quindi ha un polo
dominante). Calcoliamo il
guadagno di anello: Disegniamo
separatamente la curva di |A| e di Questa curva
indica un sistema instabile. Una regola
pratica da seguire è la seguente: l'amplificatore
operazionale compensato internamente va bene se la rete in cui è inserito è
solo passiva. In caso contrario
bisogna mettere un amplificatore da compensare e lo adatto alla rete.
( 9.22). Componendo i due grafici otteniamo la curva
di 9.23.
Prendiamo in
esame il circuito di 9.24. L'idea (sbagliata) è quella di inserire un
condensatore con l'intenzione di eliminare un po' di rumore sull'uscita.
Nota: l'amplificatore operaz. In questione è compensato internamente. In questo caso
teniamo conto anche di Ro che, anche se piccola, fa sentire la
sua influenza. Calcoliamo
dunque Ga:
Il guadagno di anello presenta un polo, quindi la curva del sistema (che senza condensatore è stabile) si trasforma nel modo descritto in . 9.25.
Con
l'introduzione del nuovo polo, dovuto alla presenza del condensatore, il
sistema diventa instabile.
Quando un sistema non è stabile, lo si chiama generalmente "sistema oscillante", ma qual è la causa di tale oscillazione? La rotazione di fase introdotta nell'anello (dovuta a poli e zeri) può modificare il verso della reazione; in particolare, se la rotazione è di 180°, la reazione cambia di segno ad ogni ciclo (da positiva diventa negativa e viceversa).
Esisterà una frequenza particolare alla quale la rotazione di fase è tale da invertire il verso della reazione; se il guadagno di anello è maggiore di 1, a quella frequenza l'uscita aumenta (in modulo) ad ogni giro; se invece il guadagno è uguale a 1, l'ampiezza del segnale non viene modificata mentre il verso si inverte ad ogni giro. Siccome questo fenomeno avviene ad una sola e ben precisa frequenza, in ingresso e in uscita devo una sinusoide.
Le condizioni alle quali avviene questo fenomeno sono dette condizioni di Barkhausen:
rotazione di fase complessiva = 0
modulo del guadagno di anello = 1
Se il guadagno è maggiore di 1, la
sinusoide in uscita avrà un'ampiezza crescente. Ma siccome la dinamica non
è infinita ( 9.26), la tensione di uscita Vu non può crescere
all'infinito. Ad un certo punto il sistema esce dalla
zona di linearità e si ottiene un'oscillazione "sporca" ( 9.27).
Per ottenere un'oscillazione "pulita" devo
fare in modo che il sistema rimanga in linearità.
Ma il problema è un altro; abbiamo visto che per attivare l'oscillazione occorre avere una precisa frequenza che soddisfi le condizioni di Barkhausen; ma questo significa avere in ingresso una sinusoide pulita, che è quella che non abbiamo e che vogliamo ottenere in uscita.
Nei circuiti reali c'è sempre del rumore, composto da un gradissimo numero di frequenze, e tra queste ci saraà quella particolare frequenza che innesca l'ocillazione. Però inizialmente il guadagno dovrà essere maggiore di 1, in modo da raggiungere una certa ampiezza; una volta che la sinusoide si è creata, occorre rimettere il guadagno a 1, in modo da stabilizzare la reazione e fissare l'ampiezza della sinusoide. Questa operazione di controllo è svolta da un circuito che si chiama appunto: circuito di controllo dell'ampiezza.
CAPITOLO 9
SOMMARIO
9.1. Criteri di stabilità
9.1.1. Criterio di Nyquist..
9.1.1.1. Margine di guadagno e di fase
9.1.2 Criterio di Bode..
9.2. Compensazione in frequenza.
9.2.1 Compensazione dell'integratore.
9.2.2. Compensazione del derivatore
9.2.3. Un altro esempio..
9.3. Considerazioni sull'oscillazione..
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