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Indice analitico del programma teorico di matematica generale



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Indice analitico del programma teorico di matematica generale.

INSIEMISTICA

insiemi ed elementi di un insieme

simboli di appartenenza e di non appartenenza

concetto di sottoinsieme



differenza tra inclusione debole e inclusione stretta

il complementare

l'unione tra due insiemi

l'intersezione tra due insiemi

l'insieme vuoto

il prodotto sectiunesiano di due insiemi e di un insieme

la differenza tra due o più insiemi

insiemi disginti e insiemi congiunti

prorietà associativa

proprietà commutativa

insieme dei numeri naturali N

proprietà di cui gode N

insieme dei numeri interi Z

proprietà di cui gode Z

la relazione d'ordine: il significato

insieme dei numeri razionali Q

proprietà di cui gode Q

concetto di campo ordinato

struttura algebrica e struttura d'ordine

numeri razionali e punti su una retta e viceversa

numeri irrazionali

insieme dei numeri reali R

proprietà di cui gode R

R e corrispondenza biunivoca

R come campo totalmente ordinato e completo


il concetto di intervallo

i 4 tipi di intervalli

dimostrazione per assurdo che Q non è completo

infinito come simbolo e non come numero

definizione di maggiorante

definizione di minorante

insieme superiormente limitato

insieme inferiormente limitato

definizione di insieme limitato

definizione di insieme illimitato

definizione di estremo superiore

definizione di estremo inferiore

definizione di massimo

definizione di minimo

teorema della completezza : definizione

insiemi equipotenti o con uguale cardinalità

numerabilità

potenza del continuo: definizione


CALCOLO COMBINATORIO:

permutazioni semplici

permutazioni con ripetizione

disposizioni semplici

disposizioni con permutazione

combinazioni semplici

il binomio di Newton

il coefficiente binomiale e il triangolo di tartaglia

il principio di induzione


definizione di intorno

definizione di punto di frontiera

definizione di punto esterno

legge di evoluzione o modello ricorsivo o sistema dinamico discreto

progressione geometrica

definizione di punto di accumulazione

definizione di insieme derivato

definizione di punto isolato

definizione di insieme aperto

definizione di insieme chiuso

definizione di condizione di chiusura

teorema sugli insiemi chiusi

definizione di insieme n aperto n chiuso

definizione di insieme sia aperto sia chiuso: i due casi


FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE:

definzione di funzione reale di variabile reale

dominio

codominio

insieme immagine

grafico della funzione

funzione costante

funzione lineare

proporzionalità diretta

funzioni implicita e funzione esplicita



definizione di funzione identità

funzioni linaeari affini

funzioni esponenziali

funzioni potenza

funzioni logaritmiche

funzione iniettiva

iniettività e invertibilità

funzione suriettiva

funzione biietiva

funzione inversa

teorema sull'esistenza della funzione inversa

proporzionalità inversa

definizione di funzione crescente

definizione di funzione strettamente crescente

teorema sulle funzioni crescenti

monotonicità

invertibilità e monotonicità

controimmagine di una funzione

esempi grafici di controimmagine



funzione superiormente limitata

funzione inferiormente limitata

funzione limitata

definizione di insieme immagine

estremo superiore di una funzione

estremo inferiore di una funzione

massimo assoluto di una funzione

punto di massimo assoluto di una funzione

minimo assoluto di una funzione

punto di minimo assoluto di una funzione

massimo relativo di una funzione

punto di massimo relativo di una funzione

minimo relativo di una funzione

punto di minimo relativo di una funzione

estremanti di una funzione

funzioni pari

funzioni dispari

prodotto di composizione

funzioni composte

funzioni convesse

funzioni strettamente convesse

funzioni concave

funzioni strettamente concave

funzioni lineari affini e funzioni convesse

teorema e dimostrazione sulle funzioni convesse


LIMITI DI FUNZIONI E DI SUCCESSIONI:

definizione di limite

limiti e punti di accumulazione

definizione formale di limite

definizione generale di limite

esempi grafici di limite: da funzione a grafico e da grafico a funzione

limite destro

limite sinistro

limite per eccesso

limite per difetto

unicità implica esistenza

teorema di unicità del limite

dimostrazione del teorema di unicità del limite

teorema di esistenza del limite

dimostrazione del teorema di esistenza del limite

teorema della permanenza del segno

dimostrazione del teorema della permanenza del segno

teorema di intrappolamento o dei due carabinieri

esempio del teorema dei due carabinieri

teorema del confronto

teorema sull'algebra dei limiti

le 4 operazioni: somma, differenza, prodotto, quoziente

forme di indecisione

casi di limiti di funzioni con oscillazioni

teorema della limitatezza locale

definizione di asintotico

definizione di funzione trascurabile

verifica del metodo di asintotico e del metodo della trascurabilità

regola dei coefficienti

principio di sostituzione: i due casi

somma di funzioni trascurabili =?

Definizione e riconoscimento di funzioni infinitesime e di funzioni infinite

Funzioni infinitesime e costanti non nulle

Scrittura fuori dal segno di limite



Parte principale della funzione infinitesima

Grado della parte principale della funzione infinitesima

Lista dei limiti notevoli: le tre possibili classificazioni: tradizionale, asintotico, trascurabile

Traslazione orizzontale e traslazione verticale

Il teorema sull'asintotico

Il teorema sul limite di una funzione composta

Regola fondamentale per l'uso dell'asintotico

Definizione di funzione infinitesima

Metodo per calcolare il grado di infinitesimo e possibili risultati

Metodo per quantificare il grado di infinitesimo di una funzione infinitesima di grado >, <,=,ad un'altra

Regola fondamentale quando si hanno dei parametri

Riepilogo generale sui limiti e sui teoremi inerenti

Metodo di sostituzione per risolvere le forme di indecisione

Parte principale e ordine di infinitesimo

Parte principale e ordine di infinitesimo e relazione con il metodo trascurabile e dunque della scrittura fuori dal segno di limite

Definizione di successione

Unico caso possibile di calcolo del limite di una successione

Termine generale di una successione

Differenze tra successione e funzioni reali di variabile reale, in generale e nel calcolo dei limiti

Classificazioni degli infiniti di una successione e di una funzione reale di variabile reale

Successione geometrica e q

Definizione di funzione continua

Funzioni continue e punto isolato

Simbologia della funzione continua

Funzione discontinua di Dirichlet

Definizione standard di limite

Definizione del limite di una funzione continua: variazioni dalla definizione standard

Funzione continua in termini grafici

Continuità

Classificazione delle varie forme di discontinuità

Discontinuità eliminabile

Discontinuità di prima specie

Discontinuità di seconda specie

Funzione continua nonostante intervallo vuoto

Teorema sull'algebra delle funzioni continue

Teorema sulla continuità delle funzioni composte

Teorema sulla continuità delle funzioni inverse

Considerazioni su continuità e invertibilità di una funzione

Considerazioni su continuità e funzioni convesse

Considerazioni su continuità e parametri

Teorema sula permanenza del segno delle funzioni continue

Teorema di Weiellstrass: funzioni continue, allora vi è massimo e minimo assoluto

Teorema sull'esistenza degli zeri delle funzioni continue

Dimostrazioni del teorema di esistenza degli zeri per funzioni continue con il metodo della bisezione ripetuta o reiterata

Teorema di Dourboux o dei valori intermedi

Dimostrazione del teorema di Dourboux


SERIE:

definizione di serie

successione delle somme o anche successione delle ridotte

limite di una serie per nà+inf.

Serie divergenti: positivamente divergenti o negativamente divergenti

Serie convergenti: studiare il carattere della serie

Serie indeterminate oppure oscillanti

Serie geometrica

Serie di mengoli

Serie telescopiche

Serie armonica

Teorema di condizione necessaria di convergenza

Serie a termini positivi: serie armonica

Criterio del confronto

Criterio del confronto asintotico

Asintoto orizzontale

Asintoto verticale

Asintoto obbliquo

Dimostrazione che la serie armonica è divergente

Serie armonica generalizzata

Criterio dell'ordine di infinitesimo

Ordini di infinitesimo: numero reale finito e non nullo

Criterio del rapporto: generalmente con i fattoriali

Criterio della radice

Convergenza assoluta di una serie

Criterio di Leibnitz per serie a termini con segno alterno


CALCOLO DIFFERENZIALE:

concetto di funzione derivabile



concetto di funzione differenziabile

il rapporto incrementale

o tasso medio di variazione

il limite per xàx del rapporto incrementale deve essere finito: allora la funzione è derivabile in x

definizione di derivabilità: definizione locale

una funzione costante è derivabile con derivata nulla

esempio di funzione costante non derivabile

rapporto incrementale= al coefficiente angolare di una funzione affine, meglio detto retta tangente il G(f)

derivata prima: dà informazioni sulla pendenza di una retta

tutte le funzioni elementari sono derivabili

funzioni differenziabili e funzioni lineari affini

errore assoluto

teorema di derivabilità allora implica anche differenziabilità e viceversa differenziabilità implica derivabilità

le due dimostrazioni del suddetto teorema

significato geometrico di derivabilità

significato geometrico di differenziabilità

errore e differenziale

se ho una funzione derivabile allora la funzione è anche continua

se ho una funzione continua, non è detto che la stessa funzione sia anche derivabile

teorema sulla derivabilità che implica la continuità di una funzione

le due dimostrazioni del teorema suddetto(preferisco la prima)

funzione derivabile allora funzione continua, allora ammette massimo e minimo

la derivabilità è condizione sufficiente di continuità

la continuità è condizione necessaria di derivabilità

qualunque funzione esponenziale è sempre positiva

studio derivabilità: allora ottengo 2 limiti ma diversi fra di loro = ho un punto angoloso

studio la derivabilità: allora ottengo + infinito: ho un punto di flesso a tangenza verticale

studio la derivabilità: allora ottengo +/- infinito: ho un punto di cuspide

teorema sull'algebra delle funzioni derivate

derivata del prodotto

derivata del quoziente

elenco delle derivate di f(x) elementari

esempi particolari di derivabilità

teorema di derivazione delle funzioni composte

teorema delle derivate delle funzioni inverse

dimostrazione del teorema di derivabilità delle funzioni inverse

derivata seconda <,>,=, a 0

derivata ennesima

teorema di Fermat o condizione necessaria per l'esistenza di un estremante interno

dimostrazione del teorema di Fermat

teorema di Rolle e punto a tangenza orizzontale

dimostrazione del teorema di Rolle

teorema di Lagrange

dimostrazione del teorema di Lagrange

conseguenze del teorema di Lagrange

teorema sulla monotonia di una funzione

dimostrazione del teorema sulla monotonia di una funzione

teorema per la ricerca di estremanti(sostituisce il teorema di Fermat)

condizione sufficiente di derivabilità

funzione derivabile con continuità

funzione derivata prima e discontinuità di seconda specie

teorema di de l'opital

teorema di Taylor Mc Laurin

teorema sulla condizione sufficiente di secondo ordine per la ricerca di un estremante

teorema sul test di convessità

passi logici in uno studio di funzione


CALCOLO INTEGRALE:

calcolo delle primitive

integrale indefinito

calcolo delle primitive passando per un punto

linearità dell'integrazione indefinita

metodo di integrazione per parti

metodo di sostituzione

integrale definito

integrale secondo Rieman

teorema sulla condizione sufficiente di integrabilità

proprietà degli integrali definiti: linearità, additività, monotonia, valore assoluto o diseguaglianza triangolare

teorema del valore medio in ipotesi di continuità

funzione integranda

definizione di funzione integrale

teorema fondamentale del calcolo integrale

dimostrazione del teorema fondamentale del calcolo integrale

teorema di Torricelli-Barrow







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