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RISOLUZIONE E DISCUSSIONE SISTEMI LINEARI - SISTEMI DI n EQUAZIONI IN n INCOGNITE: n ´ n



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RISOLUZIONE E DISCUSSIONE SISTEMI LINEARI









risoluzione

SISTEMI DI n EQUAZIONI IN n INCOGNITE: n n

Regola di Cramer : Se il det (A) esiste una sola soluzione (x,y,z)

x = y = z =

SISTEMI DI m EQUAZIONI IN n INCOGNITE m n

Regola di Rouchè-Capelli:

il sistema ammette soluzioni (una o infinite) se il rango della matrice dei coefficienti e il rango di quella completa sono uguali.

Le soluzioni sono n-p











discussione


Stabilire le condizioni cui debbono soddisfare uno o più parametri affinchè il sistema ammetta :


un'unica soluzione

o infinite soluzioni

o nessuna soluzione.



Dobbiamo in ogni caso applicare il teorema di Rouchè-Capelli anche se con diverse sfumature.


Partiamo da due esempi



SISTEMI DI n EQUAZIONI IN n INCOGNITE: n n

ad esempio

det(A)== ab+a+ab-b-a3-b = 2ab-2b+a-a3-b = 2b (a-l) -a (a2-l) = (a-l) (ab - a(a+1) ) = (a-l) (2b - a2 - a)

poniamolo uguale a zero: (a-l) (2b - a2 - a) = 0 se a = 1

per valori diversi il sistema avrà un'unica soluzione data dalla regola di Cramer:


x = y = z =



Vediamo cosa accade quando det(A)=0 , per tali valori il sistema avrà infinite soluzioni o nessuna soluzione.

I casi da analizzare sono tre:

a=1 e b (in questo caso b

Applichiamo il teorema di Rouchè-Capelli

Ac = Ai=

il rango di ciascuna è 2 T esistono n-p = soluzioni

a=1 e b=

(in questo caso b=1)


la matrice completa e quella incompleta hanno rango 1


T esistono n-p = soluzioni

a 1 e b=


il rango della matrice completa è diverso da quello della matrice incompleta


T non esistono soluzioni


SISTEMI DI m EQUAZIONI IN n INCOGNITE m n


ad esempio le due matrici : Ai= e quella completa Ac=


devono avere lo stesso rango. Il rango di Ai è r =2; affinché quello di Ac sia 2 è necessario che il det(Ac) = 0;

calcolandolo si ottiene k=1/2 T per questo valore di k le matrici hanno lo stesso rango T il sistema ammette soluzione.

Per trovarle sostituiamo al sistema, limitandoci alle equazioni corrispondenti al minore diverso da zero,ottieniamo:


le cui soluzioni sono: x=1 y=-l/2







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