Lo
spazio-tempo di Einstein
e
la geometria di Riemann
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1. Lo spazio e il tempo non sono separati,
ma costituiscono una varietà non euclidea a quattro dimensioni la cui
curvatura intrinseca o gaussiana varia con continuità. Lo spazio-tempo
curvo è illimitato ma non necessariamente infinito: esso infatti può
chiudersi su se stesso. Non è neppure necessario che l' universo sia
stazionario: è possibile un' evoluzione dello spazio-tempo, in
particolare un' espansione dell' universo con un aumento del suo raggio.
2. La varietà non euclidea spazio-temporale è
continua e differenziabile, cioè ammette in ogni evento uno
spazio-tempo tangente a curvatura nulla. Ciò significa che un intorno
sufficientemente piccolo di un qualunque evento è approssimabile con
un cronotopo di Minkowski.
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3. Lo spazio-tempo ha una curvatura intrinseca K correlata a
una metrica (cioè a una struttura geometrica) locale: la metrica
è data dai coefficienti metrici gij, i quali dipendono dal sistema
di coordinate curvilinee di riferimento. La distanza cronotopica ds fra due
eventi è minima lungo una geodetica (o linea d'universo) dello
spazio-tempo: questa è una linea oraria che connette coppie di eventi
con relazione di causa ed effetto. Nello spazio-tempo piatto di Minkowski le
geodetiche sono delle rette.
4. Equivalenza fra inerzia e gravitazione cioè fra
forze inerziali in un riferimento accelerato e forze dovute a campi
gravitazionali in un sistema inerziale. Curvatura locale del continuo
spazio-temporale (curvatura della linea oraria di un fotone) in presenza di un
campo gravitazionale: i valori dei coefficienti metrici in un dato sistema di
coordinate curvilinee (cioè la struttura geometrica locale del continuo
spazio-temporale) dipendono dalla distribuzione di quantità di
moto-energia, definita dal tensore omonimo. Lo spazio-tempo curvo non è
un contenitore assoluto, indipendente dalla massa-energia e dai campi
che contiene; se sparissero la massa inerziale e i campi gravitazionali non
rimarrebbe nulla, neppure uno spazio-tempo vuoto. Non esiste il vuoto: lo
spazio-tempo è pieno di campi e di energia.
5. Tutti i sistemi di coordinate curvilinee (sistemi di
riferimento comunque accelerati) sono di principio equivalenti per la
formulazione delle leggi generali della natura: cioè queste sono covarianti
per una trasformazione continua delle coordinate curvilinee. Inoltre, qualunque
sia l' intensità del campo gravitazionale locale, un intorno
sufficientemente piccolo di un qualunque evento è approssimabile con uno
spazio-tempo di Minkowski: è possibile cioè scegliere in esso un
sistema di riferimento inerziale.
6. La geometria dello spazio-tempo curvo della
relatività generale non è nè la geometria di Euclide né la
geometria analitica (euclidea) di Dessectiunes, ma la geometria differenziale di
Gauss e Riemann. Questa è una geometria delle varietà
differenziabili a n dimensioni con curvatura e metrica locale. In essa la
geometria algebrica (teoria delle funzioni invarianti per trasformazioni
continue delle coordinate) e l' analisi infinitesimale (calcolo di limiti e
derivate di funzioni) prevalgono sull' algebra geometrica di Euclide (teoria
delle relazioni fra grandezze invarianti per rototraslazioni e similitudini) e
sul metodo di esaustione di Archimede (calcolo di aree limitate da curve e di
volumi limitati da superfici).
