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FUNZIONI A DUE VARIABILI

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FUNZIONI A DUE VARIABILI.

Definizione:

Si definisce funzione a due variabili la funzione z = f(x,y) dove (x,y) sono le variabili indipendenti e z e la variabile dipendente.

Lo spazio a tre dimensioni:



La ricerca del dominio di una funzione:

Come nel caso delle funzioni ad una variabile reale, la prima cosa da fare quando si devono delle funzioni a due variabili, è determinare il dominio per farlo dobbiamo tenere presente le consuete regole d弾sistenza.

Un polinomio esiste sempre

Una frazione esiste sempre se il suo denominatore è diverso da zero.



Un radicale d段ndice pari esiste se il suo argomento è positivo o nullo.

Un radicale d段ndice dispari esiste sempre, qualunque sia il valore del suo argomento.

Un logaritmo esiste se il suo argomento e positivo.

Limite e continuità delle funzioni a due variabili.

Dato un punto A(X Y ) ed un numero reale r si dice intorno circolare di A l段nsieme dei punti (X,Y) del piano 36la cui distanza da P è minore di r. l段nsieme di tali punti è quindi quello dei punti del cerchio di centro A e di raggio r, circonferenza esclusa, cioè dei punti che soddisfano la relazione:



(x-x )² + (y-y )² < r²



Si parla di intorno infinito quando si considerano i punti esterni ad un cerchio di raggio arbitrariamente grande.


Un punto A di un insieme si dice interno all段nsieme stesso se esiste un intorno circolare di centro A formato esclusivamente da punti di

Un punto B si dice esterno ad se esiste un intorno circolare di centro B che non contiene alcun punto di

Un punto che non è interno e non è esterno si dice frontiera di


Limiti delle funzioni a due variabili:


-limite 1.

Data una funzione f(x,y) di dominio D ed un punto P (X ,Y ) che sia di accumulazione per D, si dice che la funzione f ha per limite P per P(X,Y) che tende a P e si scrive:




Lim f(x,y) = p

p→p0



-limite 2.

Data una funzione f(x,y) ed un punto P (X ,Y ) che sia di accumulazione per D, si dice che la funzione f ha per limite + per P(X,Y) che tende a P e si scrive :





Lim f(x,y) = + ∞

p→p0




Definizione di continuità:

Una funzione f(x,y) definita in un insieme piano si dice continua in un punto P (X ,Y che sia di accumulazione per se esiste finito.




Lim f(x,y)

p→p0


e se tale valore è uguale a quello che la funzione assume in P . in simboli:


Lim f(x,y) = f(x ,y

x→x


Lim f(x,y) = f(x ,y

y→y





derivate parziali:

Si dice derivata parziale rispetto a X della funzione f(x,y) nel punto P (X ,Y ) il limite, se esiste finito per Ax che tende a zero, del rapporto incrementale di f relativo al punto X e all段ncremento Ax, in simboli si pone:



Lim f(x + Ax, y ) f(x ,y = f¹x (X ,Y

Ax→0 Ax



Si dice derivata parziale rispetto a Y della funzione f(x,y) nel punto P (X ,Y ) il limite, se esiste finito per Ay che tende a zero, del rapporto incrementale di f relativo al punto y e all段ncremento Ay; in simboli:



Lim f(x0 , Y +Ay) f(x ,y = f¹y (X ,Y

Ay→0 Ay


Le derivate seconde della funzione f calcolate prima rispetto ad una variabile e poi all誕ltra , cioè f¹¹yx ed la f¹¹xy, si dicono derivate miste.

Teorema di Schwarz.

Se la funzione f(x,y) ha derivate seconde miste che sono continue in un insieme s ,allora f¹¹yx=f¹¹xy in ogni punto di s.

Sia z=f(x,y) una funzione definita in un insieme D del piano. Si dice che un punto P (X ,Y D

E un punto di minimo relativo per f se esiste un intorno di P contenuto in D per tutti i punti dove capita che f(x,y)≥f(x y

Si dice che un punto P (x y D è un punto di massimo relativo per f se esiste un intorno di P contenuto in D per tutti i punti dove capita che f(x,y)≤ f(x y

Si parla invece di un punto di minimo assoluto e di massimo assoluto se le relazioni A e B sono vere per ogni (x,y) D.

I punti di massimo e di minimo ( assoluti o relativi) vengono detti punti estremanti della funzione.


Un punto p (x y ) stazionario per una funzione f(x,y) si dice punto di sella se ogni intorno di P ha dei punti per cui vale la relazione f(x,y)< f(x y ) e dei punti per cui vale la relazione opposta f(x,y)> f(x y












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