Gli asintoti

Una retta y= m x +q è un asintoto per la funzione y= f(x) se al tendere di P all'infinito la distanza PH  tende a zero, cioè se

Gli asintoti possono essere : Verticali, Orizzontali ed obliqui.

Asintoti verticali

allora  "x= a" è un asintoto verticale.

Infatti la distanza del punto "P" della curva dalla retta x=a, per x a  tende a zero; cioè

Asintoti orizzontali

Se allora "y= b" è l'asintoto orizzontale

Infatti la distanza del punto "Pº x, f(x) " della curva dalla retta "y= b" tende a zero per x ; cioè:

Nel caso delle funzioni razionali fratte i limiti per x danno risultati eguali e quindi esiste un unico asintoto orizzontale, mentre bisogna fare attenzione alle funzioni trascendenti (irrazionali, esponenziali e goniometriche), in quanto, con esse, i due limiti per x ed x potrebbero dare risultati diversi ed, in tali casi, esistono due asintoti orizzontali, oppure potrebbero esistere un asintoto orizzontale ed uno obliquo.

c) A s i n t o t i o b l i q u i

Se invece  il , allora non esiste un asintoto orizzontale, ma potrebbe esistere un asintoto obliquo del tipo y= m x + q dove:

Logicamente l'asintoto esiste solo se esistono e sono finiti entrambi i limiti

Nel caso delle funzioni razionali fratte i limiti per x danno risultati eguali e quindi esiste un solo asintoto obliquo, ma, nelle funzioni trascendenti tali limiti potrebbero essere diversi e quindi esisterebbero due asintoti obliqui.

Dimostrazione: La retta y= m x + q è l'asintoto obliquo se al tendere di x all'infinito, la distanza PH tende a zero.

E' preferibile fare il ragionamento sull'ipotenusa PC del triangolo rettangolo (AHC), tanto se, per x tende a zero l'ipotenusa "PC", a maggior ragione tenderà a zero il cateto "PH". In conclusione sostituiamo

Dividendo primo e secondo membro della precedente equazione per "x", a secondo che "f(x)-(mx+q)" sia positivo o negativo, avremo:

Dalla (1), sempre nell'ipotesi che "f(x)-(mx+q)" sia positivo o negativo, avremo:

Funzione razionale fratta:

Metodo pratico per la determinazione degli asintoti o delle funzioni asintotiche

Se la funzione è del tipo  eseguiamo la divisione fra numeratore e denominatore; avremo un quoziente Q(x) ed un resto R(x). A(X) B(x)

R(x) Q(x)

In tal caso avremo:  

Se   allora y= Q(x) è l'asintoto richiesto.

In pratica:

se A(x) è di grado inferiore a B(x) allora esiste l'asintoto orizzontale e tale asintoto coincide con l'asse delle x.

se A(x) è di grado eguale a B(x) allora esiste l'asintoto orizzontale la cui equazione è  

se A(x) è di un solo grado superiore a B(x) allora esisterà un asintoto obliquo del tipo y = m x + q

se A(x) è di almeno due gradi superiore a B(x) allora esisterà una funzione asintotica.