Il
modello per tre dimensioni
Analizzato
il caso per una singola dimensione, possiamo ora estendere il discorso a tre
dimensioni.
Basta
considerare gli stati di base scomponendo il moto nelle tre direzioni e quindi
considerandole nello stesso modo utilizzato nel caso ad una dimensione. Di
conseguenza avremo delle equazioni hamiltoniane utili alla descrizione
dell’ampiezza di probabilità che l’elettrone “salti” su uno dei sei atomi circostanti, il che implica la
presenza di tre numeri d’onda. A
questo punto si scrive la soluzione dello stato stazionario come un’onda piana,
avendo dunque ora un numero d’onda k
pari alla radice della somma dei quadrati delle tre componenti (teorema di
Pitagora).
Supponendo
quindi i vari fattori uguali per le tre direzioni, si ricava (nel caso di un
reticolo cristallino cubico) un’equazione per l’energia simile a quella
ottenuta per una dimensione:
