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Le distribuzioni statistiche

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Le distribuzioni statistiche


Distribuzioni per unità

Distribuzioni di quantità

Distribuzioni di frequenza



Le distribuzioni di quantità sono simili a quelle di frequenza ma ad ogni modalità associano un 'ammontare' (Kg, dollari, litri) piuttosto che una frequenza




Es.

Redditi da lavoro dipendente in Italia secondo i rami dell'economia (in miliardi di lire)


Rami

Amm. Assoluto

Amm. relativo

Agricoltura



Industria



Servizi



Pubb. Ammin.



Totale




Si utilizzano in presenza di caratteri trasferibili


Distribuzioni di frequenza


Rappresentazione tabellare in cui, accanto ad ogni modalità del carattere viene riportato 'quante unità'

(frequenza assoluta) assumono quella specifica modalità.


Oltre alla frequenza assoluta si possono considerare le

Frequenze relative

Frequenze cumulate

Frequenze retrocumulate


Es. (Titolo di studio del padre di un collettivo di 326 studenti)


Modalità

F. Ass.

F. Rel.

F. Cum.

F. Retr.

Lic.Elem.





Lic. Med.





Maturità





Laurea





Totale







La distribuzione di frequenza può essere determinata per qualunque carattere statistico. Però le frequenze cumulate e quelle retrocumulate hanno senso soltanto per caratteri almeno ordinabili.


Le frequenze assolute e quelle relative forniscono la stessa informazione ma quelle relative

Consentono confronti tra due diverse distribuzioni

Fanno perdere l'informazione relativa al totale



Un po' di formalizzazione


Caratteri discreti (numero finito o numerabile di modalità)


Assumiamo di avere un collettivo di n individui e un carattere X con k modalità. La generica distribuzione di frequenza sarà


Modalità

Freq. Ass.

Freq. Rel.









Totale

N



Le quantità ni per i=1, . ,k sono le frequenze assolute delle modalità, rappresentate genericamente con il simbolo xi per i=1, . ,k


Note:

Ogni n è un numero intero compreso tra 0 e n

n1 + n2 + . + ni + . + nk = n

le frequenze relative si indicano spesso con il simbolo


fi = ni /n     i=1, . ,k


Ovviamente, per ogni i=1, . ,k


0 < fi <1


f1 + f2 + . + fi + . + fk = 1



Rappresentazione grafica

Diagramma a barre separate (.62)












Caratteri continui


Non è possibile elencare tutte le modalità

Esigenza di raggruppare in classi


In questo caso la generica modalità del carattere verrà indicata col termine classe e rappresentata dai simboli


(xi, xi+1]              per i=1, . ,k

chiuso a destra e aperto a sinistra


oppure


[xi , xi+1)             per i=1, . ,k

chiuso a sinistra e aperto a destra


Convenzione: xk+1 = infinito .



Esempio (. 65)

Distribuzione delle durate di1192 brani musicali.

Poiché la durata minima osservata è 30 secondi e quella massima osservata è 1022 secondi ma i dati sono perlopiù concentrati su valori medio-bassi, adottiamo il seguente raggruppamento



Criteri per la scelta delle classi


Non ne esistono di univoci

Quando ha senso, si considerano classi della stessa ampiezza e tali da avere una frequenza 'significativa' (classi equiampie)

In alternativa si costruiscono classi in modo da avere approssimativamente, frequenze simili.


Questo secondo criterio è più complesso perché va elaborato dopo aver osservato tutti i dati


Rappresentazioni grafiche


Istogramma.

L'istogramma è formato da k rettangoli adiacenti (uno per ogni classe) che indicano la frequenza delle classi.

La costruzione dell'istogramma nasconde qualche insidia, soprattutto quando le classi non hanno la stessa ampiezza.

In questo caso la base dei rettangoli sarà proporzionale alla ampiezza della classe e la frequenza verrà indicata dall'area del rettangolo e non dalla sua altezza.





Frequenze cumulate e Funzione di ripartizione empirica. ( solo per caratteri qualitativi ordinabili o quantitativi)


Consideriamo un collettivo di n unità su cui osserviamo un carattere X ordinabile ed elenchiamo in ordine crescente le n modalità assunte


x1< x2< x3< . < xi< . < xn


Attribuiamo ad ogni unità un peso pari a 1/n; possiamo dire che la frazione di unità che assume valori minori o uguali a x1 è pari a 1/n, che la frazione di unità che assume valori minori o uguali a xi è pari a i/n.

Quando X è quantitativo si ha la seguente


Definizione: Si chiama Funzione di ripartizione empirica della variabile X, la funzione che associa ad ogni valore x di X il valore


F(x)=(# di osservazioni minori o uguali di x)/n



Note:

La funzione F(x) è non decrescente

La funzione F(x) è compresa tra 0 e 1

Lim[x ¥ F(x)=1, Lim[x ¥ F(x)=0,

Nel caso di distribuzione di frequenze la funzione di ripartizione corrisponde (logicamente) alle frequenze cumulate






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