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Trasformazione secondo Laplace

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Trasformazione secondo Laplace


Sia s = s + jw, si dice trasformata di Laplace della funzione f(t), l'integrale, quando esiste,



Esiste uno stratto legame fra la trasformazione secondo Laplace e quella secondo Fourier, ovvero





Nella trasformazione di Laplace è molto importante la cosiddetta "trasformata unilatera", che vale solo per funzioni ed è definita come:

che può essere interpretata in due modi:

, tenendo conto delle condizioni iniziali di un problema identificato dalla funzione;

, per lo studio esclusivo del transitorio.


E' utile vedere il quale dominio una funzione è trasformabile secondo Laplace. Si è visto come le trasformate, di Fourier e di Laplace siano in relazione fra loro, quindi è possibile dire che le trasformata di Laplace esiste solo in una regione dove e-stf(t) è trasformabile secondo Fourier. Questa regione è una striscia verticale aperta, un semipiano aperto o l'intero piano complesso s.

DIM.:

Si devono trovare i valori di s per cui si ha

Si distinguono così due casi:

1) t > 0

Si supponga che esista s tale che

La tesi è che s > s valga

Poichè s s > 0, t > 0, e-(s s1)t < 1

Sia s1f = inf

Allora la tesi è verificata s > s1f, pertanto nella regione individuata da Re(s) > s1f

2) t < 0

Si supponga esiste s /

La tesi è che s < s valga

La dimostrazione è del tutto analoga alla precedente e si arriva a definire

s2f = sup

Si individua in tale modo una regione Re(s) < s2f

Componendo entrambi i risultati, affinchè l'integrale esista sull'intera retta reale, si definisce una nuova regione come domL F(s) =


Si possono osservare due casi particolari:

1) Se la f(t) è unilatera, allora s2f ¥, quindi il dominio della trasformata di Laplace è un semipiano;

2) Nel caso di funzioni a supporto limitato, come per il ragionamento precedente, le due s vanno rispettivamente a -¥ e +¥, quindi il dominio è l'intero piano s.


All'interno del dominio così definito è possibile applicare le proprietà trovate per la trasformata di Fourier


Condizione di Cauchy-Riemann

Si dice che L[f(t)] = F(s) è analitica sIdomL F(s), in quanto vale la condizione

DIM.:

, ciò è valido per la definizione del dominio

, come sopra.

Uguagliando si ottiene la tesi.


Formula per l'antitrasformazione secondo Laplace

Data una funzione analitica F(s), sia [s1f s2f] l'intervallo sull'asse s per cui F(s) è analitica. Si consideri ora una s tale che s I s1f s2f]. Nel punto s = s + jw vale

, quindi F(s) così calcolata è definita su una retta verticale passante per ss0 e parallela ad w. Se si antitrasforma secondo Fourier si ottiene:

tramite il cambiamento di variabile s = s + jw, ds = jdw w ¥ dw = (1 / j)ds, jw = s - s e gli estremi di integrazione diventano s - j¥ e s + j¥, per cui

, da cui

Condizione per l'esistenza dell'integrale di variabile complessa definito precedentemente è che , in cui . Questo integrale, che fornisce l'antitrasformata di Laplace, non dipende dalla scelta fatta di s . la retta passante per s e parallela all'asse w si chiama cammino di Bronwich.


Si consideri ora una F(s) = L[f(t)], che sia definita in una striscia verticale tale che 0I s1f s2f]. Si osserva che la trasformata di Fourier di f(t) si ottiene da F(s) come , e si tratta di una funzione.

Nel caso in cui 0IFr(domLF(s)), si ottine una F(w che è una distribuzione con un limite nel senso delle distribuzioni, ovvero .


Proprietà della trasformata di Laplace

1) Linearità. Il dominio della trasformata ottenuta è l'intersezione dei dominii precedenti;

2) Cambiameno di scala. Il dominio della trasformata ottenuta è il prodotto |a|domLF(s);

3) Traslazione nel tempo. Il dominio non varia;

4) Modulazione nel tempo. Al dominio precedente si somma s0;

5) Derivazione nel tempo. Il dominio è inalterato;

6) Derivazione complessa. Il dominio è inalterato.


Funzione

Trasformata secondo Laplace

Dominio

u(t)

1 / s

Re(s) > 0

tn-lu(t)

(n - 1)! / sn

Re(s) > 0

u(t)ejw0t

1/ (s - jw



Per il prodotto di convoluzione valgono le stesse considerazioni fatte per la trasformata di Fourier.


Considerazioni sulla trasformata di Laplace unilatera

Sia f(t) una funzione tale che f(t)IOt ¥(eat), allora Flu(s) esite ed è limitata s > s > a

DIM.:

Per s ¹ a si ha

Allora s > a e s > s si ha domLF(s) =

Se a = 0, che equivale a dire che f(t) è limitata, si ha che il dominio è il semipiano della parte reale di s positiva.


Trasformata di Laplace di una funzione periodica di periodo T

, in cui

Una tale funzione si dice meromorfa, ovvero ha infiniti poli, che sono zeri di ordine (1 - e-sT).

I poli di F(s) sono in linea di principio sull'asse immaginario (potrebbero essere compensati dagli zeri di F0(s) che è una funzione analitica intera, essendo trasformata di laplace di una funzione a supporto limitato). Se i poli non sono compensati dagli zeri, sono poli di I ordine.


Trasformata di Laplace di distribuzioni

La definizione è la stessa delle trasformate di funzioni, lo stesso vale per il loro dominio.

Sia f(t)ID'. Allora L ha un dominio costituito da una striscia verticale, piano o semipiano, e all'interno di questo la trasformata di Laplace è analitica.

DIM.:

La dimostrazione è analoga a quella fatta per le trasformate di funzioni

1) t > 0

Supponiamo esista s tale che e-s1tf(t)IS

La tesi è che s > s e-stf(t)IS

e-stf(t) = e-(s s1)te-s1tf(t), in cui il primo fattore del secondo membro è un esponenziale minore di 1, e il secondo fattore appartiene a S

Sia s1f = inf, allora la trasformata di Fourier esiste s > s1f

2) t < 0

La dimostrazione è analoga.

Dal secondo punto si osserva che F è una funzione continua e derivabile rispetto a s, e che

D'altro canto  è una distribuzione e come tale derivabile rispetto ad w

F'(w L

da cui, uguagliando, la tesi.





Distribuzione

Trasformata di Laplace

Dominio

d


C

d(n)

s(n)

C


Sia F(s) una trasformata di Laplace: si dice che questa è di ordine esponenziale aF se e solo se esiste una funzione G(s) limitata in 0 tale per cui valga l'equivalenza



Si dice ascissa del fronte di f(t) il più piccolo valore delle ascisse del supporto di f(t), tale valore si indica con tf.


Teorema

L'indice di crescita esponenziale della trasformata di Laplace è pari all'ascissa del fronte cambiata di segno.


Teorema

Sia F(s) una funzione analitica di s = s + jw, allora condizione necessaria e sufficiente affinchè F(s) sia la trasformata di Laplace di una funzione o di una distribuzione è che, considerandola come funzione di w, essa sia a crescita lenta in w

DIM.:

Se L=F(s)=F(s + jw), allora f(t) è a crescita in w

Se invece F(s + jw) è a crescita in w, allora s IdomL f(t) = e s0tF-l, cioè esiste l'antitrasformata di Fourier che, moltiplicata per l'esponenziale, fornisce f(t).




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