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Disposizioni (≠ per ordine e natura)

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Disposizioni (≠ per ordine e natura)


Dato un insieme A di n elementi, si definiscono disposizioni di classe k i raggruppamenti di k elementi scelti fra gli n dell’insieme A tali che ogni raggruppamento differisca dagli altri:

o per la natura degli elementi;

o per l’ordine degli elementi.





Le disposizioni si dicono:


a)     semplici, se ogni raggruppamento contiene elementi distinti fra loro; il loro numero si indica con D n,k;

b)     con ripetizione, se nei raggruppamenti gli elementi di A possono ire più di una volta; il loro numero si indica con D’ n,k.


Il numero delle disposizioni con ripetizione di n elementi di classe k è n alla k:


D’ n,k = n


Il numero delle disposizioni semplici di n elementi di classe k è eguale al prodotto di k fattori interi consecutivi decrescenti a partire da n:



D n,k = n (n-l)*(n-2)* . . .     [n-(k-l)]



Permutazioni (≠ per ordine)


I raggruppamenti contengono tutti gli elementi dell’insieme e ogni raggruppamento differisce dagli altri solo per l’ordine secondo cui gli elementi sono presi. Raggruppamenti di questo tipo sono detti permutazioni.


Dato un insieme A di n elementi, si definiscono permutazioni di n elementi (diversi fra loro) i raggruppamenti formati dagli n elementi presi in un ordine qualsiasi.


Il numero delle permutazioni di n elementi è allora:


P n = n!


Combinazioni (≠ per natura)


Dato un insieme A di n elementi, si definiscono combinazioni semplici degli n elementi di classe k (con k<=n) i raggruppamenti di k elementi, scelti fra gli n dell’insieme A, tali che ogni raggruppamento differisca dagli altri per la natura degli elementi (senza considerare l’ordine degli elementi).



Indicato con C n,k il numero delle combinazioni semplici di n elementi di classe k, si ha:


C n,k * P k = D n,k



Cioè :


C n,k = D n,k = n*(n-l)*(n-2)* . [n-(k-l)]

P k k !




Solitamente si scrive: C n,k = n

k




IL CALCOLO DELLE PROBABILITA’



La probabilità P (E) di un evento E è il rapporto fra il numero m dei casi favorevoli (al verificarsi di E) e il numero n dei casi possibili, giudicati egualmente possibili:


P (E)=   m

n



La probabilità è un numero razionale p compreso fra 0 e 1:


0<=p<=1


Il numeratore m è il numero dei casi favorevoli al verificarsi dell’evento e quindi è minore, o al più eguale, al numero n di tutti i casi possibili, che è al denominatore. In particolare:


se m=0, ossia se non esistono casi favorevoli al verificarsi dell’evento,

l’evento è detto impossibile e la sua probabilità è nulla: P(E)=0;


se m=n, ossia se tutti i casi sono favorevoli al verificarsi dell’evento,       

l’evento è detto certo e la sua probabilità è 1: P(E)=1.


La caratteristica essenziale della concezione classica (e, come vedremo, uno dei suoi punti deboli) è la condizione che tutti i casi in cui può manifestarsi il fenomeno siano egualmente possibili.

LA PROBABILITA’ NELLA CONCEZIONE FREQUENTISTA


La concezione frequentista è basata sulla definizione di frequenza relativa di un evento. Si definisce frequenza relativa di un evento in n prove effettuate nelle stesse condizioni, il rapporto fra il numero k delle prove nelle quali l’evento si è verificato e il numero n delle prove effettuate:


f = k , dove 0<=f<=1



n



La legge empirica del caso permette di formulare la seguente definizione frequentista di probabilità per eventi ripetibili.

La probabilità di un evento è la frequenza relativa in un numero di prove ritenuto “sufficientemente” elevato.


La probabilità P(E) di un evento E è la misura del grado di fiducia che un individuo coerente attribuisce, in base alle sue informazioni e alle sue opinioni, al verificarsi dell’evento E.

La probabilità di un evento E, secondo l’opinione di un certo individuo, è il prezzo p che ritiene equo attribuire all’importo unitario, esigibile al verificarsi di E.


Si definisce evento contrario dell’evento A, l’evento A che si verifica se e solo se non si verifica A, cioè A è il sottoinsieme complementare di A rispetto a U.


La probabilità P(A) è una funzione che associa a ogni evento del campo degli eventi un numero reale, in modo che siano soddisfatti i seguenti assiomi:


1° - P(A)>=0

2° - P(U) = 1

3° - Se A e B sono incompatibili, ossia A ∩ B = Ø, si ha: P(AUB)=P(A)+P(B).


La probabilità secondo la concezione classica è un caso particolare della probabilità secondo l’impostazione assiomatica.





PROBABILITA’ DELLA SOMMA LOGICA DI EVENTI




La probabilità della somma logica di due eventi è eguale alla somma delle probabilità dei due eventi diminuita della probabilità della intersezione dei due eventi.


P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)



P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)-P(A∩B∩C)



Se A e B sono due eventi qualunque si ha la relazione:


P(A)=P(A∩B)+P(A∩B)


PROBABILITA’ CONDIZIONATA. EVENTI DIPENDENTI E INDIPENDENTI.



Si definisce probabilità di un evento A condizionata (o subordinata) all’evento B – e si indica P(A/B) – la probabilità del verificarsi di A nell’ipotesi che B si sia verificato. Se B non si verifica, l’evento A/B non è definitivo.


L’impostazione assiomatica definisce proprio come probabilità di A condizionata a B la relazione:


P(A/B)=     P(A∩B) se P(B)≠0

P(B)


Due eventi A e B si dicono stocasticamente indipendenti (ossia indipendenti dal punto di vista del calcolo delle probabilità), se:


P(A)=P(A/B)




La probabilità dell’evento composto, o del prodotto logico A∩B, è eguale al prodotto della probabilità di un evento per la probabilità dell’altro condizionata al verificarsi del primo.


Se gli eventi sono stocasticamente indipendenti, cioè se P(A/B)=P(A), oppure se P(B/A)=P(B), il teorema delle probabilità composte diventa:


P(A∩B)=P(A)*P(B)





TEOREMA DI BAYES


Una prima formulazione del teorema di Bayes si ricava dal teorema delle probabilità composte:

P(A∩H)=P(A)*P(H/A)=P(H)*P(A/H)=


P(H/A)=P(H)*P(A/H)

P(A)







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