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CONCETTI SULLA REAZIONE - guadagno di anello



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CAPITOLO 8


CONCETTI SULLA REAZIONE



8.1. Alcune definizioni


Consideriamo il sistema di 8.1, con un ingresso e un置scita; l置scita viene riportata tramite una anello all段ngresso e quindi va a sommarsi (o sottrarsi) all段ngresso. In questo modo l置scita contribuisce a modificare l段ngresso e il nuovo ingresso produce una nuova uscita; si instaura quindi un anello di reazione.




 









In . 8.2 e la classica rappresentazione a blocchi di una reazione in cui il blocco G trasforma l段ngresso in uscita e il blocco H riceve l置scita e la riporta al nodo di somma (sottrazione) presente all段ngresso.

Facciamo ora alcune assunzioni (peraltro temporanee):

1) Il sistema lineare

2) G e H sono costanti e positivi

 












A seconda del segno, valgono queste due relazioni:


Si= Se + Sf Si = Se - Sf


In prima approssimazione possiamo associare mentalmente la somma al concetto di reazione positiva e la sottrazione al concetto di reazione negativa.


Definiamo la funzione di trasferimento ad anello chiuso o guadagno di anello chiuso il rapporto tra uscita e ingresso prima del nodo:


close loop gain GF =


Definiamo guadagno di anello aperto il rapporto tra uscita e ingresso dopo il nodo:


open loop gain =


Nel caso particolare degli amplificatori, G rappresenta il guadagno dell誕mplificatore base.

Vediamo di calcolare il guadagno di anello chiuso in funzione di G, nei due casi di nodo di somma e di sottrazione:


nodo di somma:



L置ltima espressione rappresenta il guadagno di anello chiuso espresso in funzione di G e H.


nodo di sottrazione:



Nota bene: come vedremo, nei circuiti non affatto semplice individuare i blocchi G e H, ma esiste un metodo per calcolare direttamente la quantit GH, che quindi risulta molto pi importante dei singoli G e H.

Il blocco GH viene definito normalmente guadagno di anello.



Il guadagno di anello chiuso GF , nel caso della sottrazione, ha lo stesso segno di G ed minore di G (viste le assunzioni fatte precedentemente).

Nel caso della somma, abbiamo tre sottocasi:

GH=1: teoricamente il guadagno infinito (utilizzato negli oscillatori)

GH<1: GF > G e concorde in segno con G (utilizzato nei atori di soglia)

GH>1: l置scita cambia segno ad ogni ciclo (sistema instabile)


Supponiamo ora di ragionare su una reazione con nodo di sottrazione.

Immaginiamo che Se rimanga costante e che ci sia una variazione positiva di Su; di conseguenza si ha una variazione positiva di Sf e dunque una variazione negativa di Si. Il risultato intuitivo: la reazione negativa si oppone alle variazioni,cio tende a stabilizzare il sistema perch minimizza i cambiamenti dell置scita. La reazione positiva, al contrario, tende ad esaltare le variazioni, ingigantendole.

Calcoliamo la variazione del guadagno di anello chiuso GF in rapporto alla variazione del guadagno G:



In altre parole, una variazione nel guadagno G induce una variazione di GF , ma divisa per la quantit (1+GH), quantit chiamata desensitivity. Questo significa che, come abbiamo gi detto, nella reazione negativa una variazione di G ha un effetto molto trascurabile sul guadagno di anello chiuso (perch la quantit (1+GH) normalmente grande, specialmente se parliamo di amplificatori).

Per fare un esempio, poniamo che il guadagno G possa variare da x a 10x, cio dG/G=10, che siano G=25000 e H=0,1;



Si pu vedere che pi G grande e meglio l誕nello minimizza la variabilit di G. Quindi se abbiamo incertezza sul valore di G, ma G abbastanza grande, otteniamo un valore di GF pi piccolo ma ne conosciamo il valore con maggior precisione.


8.1.1. Definizione di guadagno di anello e di reazione positiva/negativa


Vediamo ora la definizione vera e formale del guadagno di anello.

Dato un sistema ad anello chiuso con Se=0, si definisce all段nterno dell誕nello un taglio, mantenendo invariati i livelli di impedenza; si applica da un lato del taglio un generatore di tensione e si misura la tensione S all誕ltro lato del taglio (. 8.3).


La definizione che si trova in letteratura la seguente:



Ma noi utilizzeremo la seguente definizione che differisce solo per il segno:

 














A questo punto siamo in grado di dare la vera definizione di reazione positiva e negativa:

una reazione positiva quando il rapporto S/ positivo, negativa quando tale rapporto negativo.


Come promesso, vediamo ora il metodo che si adotta per calcolare il guadagno di anello.

Consideriamo ad esempio il circuito di 8.4.


Passi:


1) Si elimina il generatore indipendente

2) Si trasforma il generatore dipendente in indipendente

3) Si calcola Vi (grandezza pilotante) in funzione di .

 











In questo esempio (amplificatore di tensione), A coincide con il blocco G e la parentesi coincide con il blocco H.

Se noi consideriamo invece l誕mplificatore di trans-resistenza (identico al precedente ma il generatore di tensione si trova sul ramo con R1), otteniamo come guadagno di anello lo stesso valore, ma in questo caso non vero che A coincide con G e la parentesi con H.

Comunque, come gi detto, a noi non interessa individuare sul circuito i blocchi G e H, ma solo il metodo per calcolare Ga.

8.2 Amplificatori reazionati


I concetti di reazione visti, ci interessano solo relativamente alla loro applicazione sugli amplificatori. Vediamo dunque pi in dettaglio un anello di reazione quando esso rappresenta un amplificatore ( 8.5).



Se=tensione, corrente o (raramente) potenza

Su=tensione, corrente, potenza

G=amplificatore base

H=blocco di reazione


Si presentano due problemi:

1) come facciamo a prelevare la grandezza in uscita

2) come facciamo a sommare le grandezze in ingresso

 












Supponiamo che i due blocchi siano dei doppi bipoli ( 8.6).









ipotesi: i blocchi sono monodirezionali (nella realt questo non vero, ma qui ci semplifica le cose)

 

 











Nota: i due blocchi disegnati non devono avere per forza come funzioni di trasferimento i valori G e H, perch abbiamo gi detto che negli amplificatori questi due blocchi sono difficilmente individuabili.


Cosa significa prelevare una tensione o una corrente? Significa misurare la tensione SUL carico e la corrente NEL carico. Infatti sono importanti queste grandezze solo se relative al carico, e non ad un qualche altro punto della reazione.


Leggere la tensione


Per prelevare la tensione sul carico metto l段ngresso del blocco H in PARALLELO al carico ( 8.7); questa operazione valida indipendentemente dal fatto che il circuito sia rappresentato tramite Th騅enin o tramite Norton.

In teoria la resistenza in ingresso al blocco H (Ri) dovrebbe avere valore infinito, cio presentarsi come un circuito aperto, in modo da non alterare la misura.

In pratica occorre che la resistenza abbia un valore molto alto.

 













Leggere la corrente


Per prelevare la corrente nel carico metto l段ngresso del blocco H in SERIE con il carico ( 8.8); anche qui, l弛perazione valida indipendentemente dal fatto che il circuito sia rappresentato tramite Th騅enin o tramite Norton.

Iin teoria la resistenza in ingresso al blocco H (Ri) dovrebbe avere valore nullo, cio presentarsi come un circuito chiuso, in modo da non alterare la misura.In pratica occorre che la resistenza abbia un valore molto piccolo.

 















Spostiamo la nostra attenzione sul punto di somma che si trova a sinistra dello schema a blocchi G-H. Circuitalmente, cosa significa sommare (sottrarre) correnti e tensioni? In linea generale, per sommare due tensioni occorre avere una maglia e una serie, per sommare due correnti occorre avere un nodo e un parallelo.




Sommare la tensione
















Sommare la corrente


















Abbiamo visto due conurazioni all置scita (prelievo di tensione e di corrente) e due conurazioni all段ngresso (somma di tensioni e di correnti); con le 4 conurazioni possibili che otteniamo possiamo realizzare i 4 tipi di amplificatori che abbiamo gi visto.


 

Amplificatore di tensione

 











La prima parte del nome si riferisce alla grandezza prelevata in uscita

Regola: immagino di sostituire il carico con un circuito aperto: se l誕nello di reazione non si apre, in uscita si ha un prelievo di tensione, se l誕nello si apre, ho un prelievo di corrente (viceversa se immagino di sostituire il carico con un corto circuito).

In questo caso ( 8.11) l誕nello di reazione non si apre, quindi ho all置scita un prelievo di tensione.

All段ngresso ho una somma di tensioni e la maglia composta da Vd, da VS e dalla tensione Vf su R1: Vd=Vs-Vf

Questo tipo di reazione viene chiamata REAZIONE TENSIONE-SERIE.

 
, la seconda parte alla grandezza sommata in ingresso (ricorda: somma di tensione=serie, somma di correnti=parallelo).

In riferimento alla 8.12, in uscita viene prelevata una tensione (vale il discorso di prima), mentre in ingresso vengono sommate delle correnti nel nodo indicato.

Questo tipo di reazione si chiama REAZIONE TENSIONE-PARALLELO.

Ii=Is-If

 










If

 

In riferimento alla 8.124,in uscita viene prelevata una corrente (vale il discorso precedente); in ingresso sono sommate delle correnti nel nodo indicato.

Questa reazione prende il nome di REAZIONE CORRENTE-PARALLELO.

Ii=Is-If

 

 

Amplificatore di corrente

 

In riferimento alla 8.13, in uscita viene prelevata una corrente (mettendo un circuito aperto al posto del carico si apre l誕nello di reazione); in ingresso si sommano le tensioni VS , Vd e Vf . Questa reazione prende il nome di REAZIONE CORRENTE-SERIE.

Vd=Vs-Vf

 

 

Amplificatore di trans-conduttanza

 

 

Amplificatore di trans-resistenza

 

Vf

 

VS

 

Vd

 

























Possiamo a questo punto dimostrare che le impedenze di ingresso e di uscita dei 4 amplificatori dipendendono dalla desensitivity. Per far ire questo termine nelle equazioni occorre scegliere opportunamente il modello con cui rappresentiamo l誕mplificatore di base.

Nei calcoli che seguono supponiamo che il blocco di reazione sia unidirezionale e che abbia impedenze di ingresso ideali (infinite o nulle a seconda dei casi).


8.2.1. Amplificatore di tensione


Vi =VS - Vf (reazione negativa)

 

R

 


 












Impedenza di ingresso:



Impedenza di uscita:

per calcolarla, come al solito sostituisco il carico con un generatore di tensione V, annullo il generatore indipendente VS e poi determino il rapporto V/I:









Sia l段mpedenza di ingresso che quella di uscita dipendono da un fattore 1+AH che la desensitivity.

8.2.2. Amplificatore di corrente
















Impedenza di ingresso:


Impedenza di uscita:

per calcolarla, sostituisco il carico con un generatore di corrente e tolgo il generatore di corrente indipendente, poi calcolo il rapporto V/I:













Nota: come gi detto prima di iniziare i calcoli, il blocco (1+AH) e in tutti i risultati non casualmente, ma grazie ad un弛pportuna rappresentazione del blocco amplificatore (tramite Th騅enin o Norton).

Se provassimo a rifare i calcoli prendendo in esame una reazione positiva, nel caso in cui la quantit AH che e nelle impedenze fosse minore di 1, troveremmo risultati analoghi ma opposti; se la quantit AH fosse invece maggiore di 1 otterremmo resistenze negative, e ci significa semplicemente che il sistema sarebbe instabile (i poli si trovano nel semipiano positivo delle sigma) oppure oscillante.








8.3. CASO DI STUDIO: anello di reazione su amplificatore


Faremo alcuni calcoli 吐ormali e vedremo le differenze tra i risultati teorici e la realt. Le regole della reazione servono durante la fase di progetto, non nel calcolo della rete, dove si utilizzano le regole dell弾lettrotecnica.

Prendiamo in considerazione l誕mplificatore di tensione e utilizziamo il metodo dei nodi.

















 
Il circuito di 8.17a la solita rappresentazione dell誕mplificatore di tensione; il circuito di 8.17b del tutto equivalente: stato solo ridisegnato cambiandone solo la forma.



Le equazioni (1) e (2) formano un sistema con due incognite: VS e V2 . Utilizziamo il metodo di Kramer per calcolare V2:




Siccome V2 coincide con l置scita VU , il rapporto trovato rappresenta il guadagno GF dell誕mplificatore di tensione; ora modifichiamo un po questa espressione in modo da far ire una quantit di tipo (1+XY); a questo scopo modifichiamo il denominatore:


Riorganizziamo la seconda grande parentesi del denominatore:


La quantit che abbiamo messo infine in evidenza riportata qui a sinistra.


Questa quantit, a parte il segno che dipende dalla definizione scelta, coincide con il guadagno di anello Ga.

Operiamo ancora una trasformazione al denominatore, questa volta sulla parentesi quadra a sinistra:



In questa forma possiamo mettere in evidenza due termini:



AD detto guadagno del sistema 杜orto, cio senza amplificatore; come se avessimo messo a zero il generatore pilotato (Avi=0); in una reazione teorica questo implicherebbe annullare anche l置scita, ma in un sistema reale i blocchi non sono unidirezionali e quindi un contributo di guadagno lo vediamo comunque. Tale contributo tanto pi trascurabile quanto pi grande il secondo termine AO , che dipende dal valore di A; siccome A negli amplificatori un valore molto grande, il contributo di AD effettivamente trascurabile rispetto ad AO.

AO rappresenta invece il guadagno dell誕mplificatore di base (in altre parole il blocco G nello schema a blocchi).

Vale la seguente relazione:



Il guadagno ad anello aperto (AOL) dato dalla somma del guadagno del sistema morto (senza amplificatore) con il guadagno intrinseco dell誕mplificatore. Dividendo AOL per la quantit (1+Ga) si ottiene infine il guadagno ad anello chiuso.


8.3.1. METODO GENERALE PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI REAZIONATI CON 1 ANELLO


Prendiamo in considerazione il circuito appena studiato ( 8.18).

L段potesi che facciamo di considerare indipendente il generatore di tensione dipendente. Individuiamo le variabili indipendenti e dipendenti di questo sistema:


variabili dipendenti: grandezza in uscita xo (Vo)

grand. Di pilotaggio xi (Vi)


variabili indipendenti: grandezza in ingresso xS (VS)

grandezza pilotata ()

 
















Abbiamo espresso le variabili dipendenti in funzione di quelle indipendenti tramite opportuni coefficienti.

Ora ricaviamo dalla prima:

Sostituiamo tale espressione nella seconda equazione e rinomianiamo le costanti:



Imponiamo ora l弾quazione di vincolo: (infatti circuitalmente la tensione pilotante e quella pilotata hanno lo stesso valore); ora sostituiamo nella prima espressione del sistema :

Quest置ltima espressione fornisce il rapporto tra uscita e ingresso, cio il guadagno del sistema; nota la somiglianza di questa espressione con quella trovata nel caso di studio precedente.

La quantit t12 t22 il guadagno di anello; invece, nel caso dell誕mplificatore, la quantit t12 t 21 il guadagno dell誕mplificatore. Infine, t11 il guadagno del sistema morto.

Calcoliamo i coefficienti tij :

Applichiamo queste formule al circuito in esame:


t11:

R1

 

R2

 

Ri

 

Ro

 

Vi

 

VS

 

Vo

 
Questa quantit il guadagno del sistema morto AD


t12:




t21:



t22:



Nota: con questo metodo formale otteniamo gli stessi risultati che possiamo ottenere con i calcoli visti precedentemente.

8.3.2. FORMULA DI BLACKMAN (doppio bipolo reazionato)


La formula di Blackman utile per calcolare l段mpedenza di ingresso di un doppio bipolo reazionato.

Per calcolare l段mpedenza di ingresso di un doppio bipolo posso applicare ai morsetti di ingresso un generatore di tensione V, misurare la corrente I che eroga e calcolare il rapporto V/I ( 8.19a). Oppure, al contrario, applico un generatore di corrente e trovo l段nverso dell段mpedenza di ingresso calcolando il rapporto I/V ( 8.19b).

Immaginando di considerare una delle due grandezze come l段ngresso del sistema e l誕ltra come l置scita, V/I o I/V rappresentano le funzioni di trasferimento del sistema:

 

8.19a

 











V=ingresso, I=uscita: I=f(V) I=ingresso, V=uscita: V=f(I)


Siccome parliamo di doppi bipoli reazionati, tale funzione avr una forma di questo tipo (trovata precedentemente in via teorica):



Basandosi sulle considerazioni precedenti, la formula di Blackman permette di calcolare l段mpedenza di ingresso:






dove RIF=impedenza di ingresso, RID=impedenza del sistema morto,



Per capire meglio, vediamo un esempio; consideriamo il circuito di 8.20.

RIF l段mpedenza vista dal generatore di tensione VS, che rappresenta l段ngresso del sistema. RID l段mpedenza vista da VS quando A=0.



 













Per calcolare TOC sostituiamo l段ngresso VS con un circuito aperto ( 8.21) e calcoliamo:


Per calcolare TSC sostituiamo l段ngresso VS con un corto circuito ( 8.22) e calcoliamo:


 

quindi possiamo calcolare l段mpedenza di ingresso:



 






















Allo stesso risultato si arriva calcolando l段mpedenza di ingresso con i metodi 鍍radizionali.

8.4. Risposta in frequenza degli amplificatori reazionati


Vediamo la risposta in frequenza di tre amplificatori base quando vengono posti in reazione; i tre sono rappresentati in . 8.23a, 8.23b, 8.23c.











8.4.1. Amplificatore larga banda


La funzione di trasferimento



dove Go rappresenta l誕ltezza della parte piatta, a il polo a minor frequenza e a il polo a maggior frequenza.

Posso studiare l弾ffetto della reazione separando la zona di bassa frequenza e quella di alta frequenza.

Bassa frequenza:






La curva di risposta si modifica: si abbassa della quantit 1+G0H (diminuzione di guadagno) e il polo si sposta verso lo zero della stessa quantit; lo zero invece non si sposta (nella realt si sposta poco). Lo spostamento rafurato in . 8.24.

 










Alta frequenza:



La curva di risposta si modifica: si abbassa della quantit 1+G0H (diminuzione di guadagno) e il polo si sposta verso infinito della stessa quantit ( 8.25).

 










L弾ffetto complessivo consiste in una diminuzione del guadagno e in un allargamento della banda.


8.4.2. Amplificatore operazionale


L誕mplificatore operazionale compensato internamente presenta due poli, quindi un sistema del secondo ordine ( 8.26).














Poniamo che un sistema di questo tipo venga chiuso in un anello di reazione (con blocco di reazione costante):



Come si pu vedere, la relazione che esprime il guadagno di anello chiuso composta da una prima parte che indica l誕bbassamento di guadagno per la solita quantit 1+G0H, e da una seconda parte che presenta due poli, che possono essere complessi coniugati o reali.

Il denominatore di questa seconda parte pu essere scritto in altre due forme:


dove Q detto fattore di qualit e k fattore di smorzamento.

Si pu dimostrare che:

per presenta un massimo e ha soluzioni complesse e coniugate

per k>1 ha soluzioni reali

per ha due soluzioni complesse e coniugate ma non presenta un massimo


Un caso particolare ma molto importante il seguente.

Assumiamo che valga la seguente relazione:


[]


cio assumiamo che la distanza tra i due poli coincida con il guadagno di anello in bassa frequenza.

Riprendiamo la formula di prima aggiungendovi questa condizione:


ipotizzando che , la formula precedente si semplifica:

oppure


dove la frequenza di oscillazione non smorzata. Il polo pi a destra ha la stessa pulsazione della frequenza di oscillazione non smorzata (questo il polo 渡aturale dell誕mplificatore operazionale, mentre l誕ltro il polo compensato;(vediamo pi avanti come si compensa).

Risultano:

e siccome presenta un massimo ( 8.27).




Riassumendo, sotto la condizione , realizziamo un anello chiuso con Q=1, k=1/2 e w a

 












Se invece:

b>4aG0H presenta due soluzioni reali

b>=2aG0H presenta due soluzioni complesse coniugate ma non presenta un massimo

b<2aG0H presenta due soluzioni complesse coniugate e un massimo


Un sistema del secondo ordine di questo tipo pu essere realizzato anche tramite una rete simile a quella di 8.28.


 

 










Abbiamo ottenuto una funzione di trasferimento del secondo ordine, molto simile a quella che abbiamo trovato precedentemente applicando un anello chiuso all誕mplificatore compensato. Questo tipo di risultato caratteristico di una rete LRC oppure di una rete RC chiusa in un anello di reazione.

Questo significa che tramite resistenze e condensatori posso realizzare gli stessi effetti di una rete contenente induttanze; le induttanze sono molto difficili da realizzare e da utilizzare, quindi questo risultato molto importante.

CAPITOLO 8


SOMMARIO


8.1. Alcune definizioni.

8.1.1. Definizione di guadagno di anello e di reazione positiva/negativa..

8.2 Amplificatori reazionati..

8.2.1. Amplificatore di tensione..

8.2.2. Amplificatore di corrente

8.3. CASO DI STUDIO: anello di reazione su amplificatore..

8.3.1. METODO GENERALE PER LA SOLUZIONE DI SISTEMI REAZIONATI CON 1 ANELLO.

8.3.2. FORMULA DI BLACKMAN (doppio bipolo reazionato)

8.4. Risposta in frequenza degli amplificatori reazionati

8.4.1. Amplificatore larga banda..

8.4.2. Amplificatore operazionale.








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