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ESERCIZIO Nー 28



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ESERCIZIO Nー 28


Un uomo, posto nell弛rigine di un sistema di riferimento, lancia una freccia puntando direttamente, nella direzione di visione, verso una scimmia S ferma su un albero. La scimmia intuisce l段ntenzione aggressiva e, nell段stante in cui parte la freccia, si lascia cadere al suolo. L段gnoranza della cinematica fatale alla scimmia, che viene centrata al volo. Perch ?


SVOLGIMENTO


Occorre verificare che indipendentemente dalla velocit iniziale, esiste un punto in cui freccia e scimmia arrivano contemporaneamente.


y S







H


v S


q


Q x

d


Indicando con yf(t) ed ys(t) le quote della freccia e della scimmia rispettivamente, si ha:


1

yf(t) = (v senq)t gt

2

1

ys(t) = H gt

2


La scimmia viene colpita se, al tempo t in cui la freccia e scimmia hanno la stessa quota y, avviene anche che l誕scissa xf della freccia coincida con l誕scissa d (costante) della scimmia: questo significa l誕rrivo simultaneo di freccia e scimmia nel punto S. Dunque:


1 1

yf(t ) = ys(t yf(t) = (v senq)t gt = H gt

2 2


da cui


H

t

v senq


L誕scissa della freccia ha la legge oraria : xf(t) = (v cosq)t per cui, al tempo t , si ha:

H H

xf(t ) = v cosq =

v senq tgq



ma H = dtgq (nel triangolo rettangolo PSQ) per cui


H

xf(t = d = xs

tgq


Dunque al tempo t freccia e scimmia hanno le stesse coordinate e la scimmia colpita.


E da osservare che quanto sopra trovato non dipende dalla velocit della freccia (purch v sia tale che la gittata della freccia sia superiore alla distanza d).



ESERCIZIO Nー 29


Le lancette di un orologio indicano le ore tre. Dopo quanto tempo le lancette si ritrovano per la prima volta ad angolo retto ?


SVOLGIMENTO


Si tratta di due moti angolari uniformi, a diverse velocit angolari, riguardanti le due lancette (ore e minuti).

In un moto angolare uniforme l誕ndamento temporale del parametro cinematico angolo q espresso dalla relazione:


q(t) = q wt


La legge appena scritta vale per entrambe le lancette (ore e minuti); nel caso della lancetta delle ore si ha:


wore p/Tore p/12h (un giro intero in 12 ore) = 0,523 rad/h


mentre per la lancetta dei minuti:


wmin p/Tmin p/1h (un giro intero in 1 ora) = 6,28 rad/h


Prendendo come raggio di riferimento per gli angoli la linea verticale (corrispondente quindi a q=0) si ha:


lancetta delle ore: qore(t) = qore0 woret dove qore0 p/2 (posizione iniziale sulle ore tre)

Quindi qore(t) = p woret


Per la lancetta dei minuti: qmin(t) = qmin0 wmint dove qmin0 (posizione iniziale verticale)

Quindi qmin(t) = wmint


Cerchiamo quindi il valore t di t, tale che qmin qore p/2; dunque


qmin(t wmint

qmin qore -p wmin - w ore)t

qore(t p woret


Pertanto


p

t = 0,55h 33min = 6/11 h

wmin - w ore

ESERCIZIO Nー 30


La piattaforma di una giostra si muove di moto circolare non uniforme. Essa parte da ferma ed ha un誕ccelerazione angolare costante a = 0,2 rad/s . Calcolare:


la velocit angolare dopo 2s;

l誕ccelerazione, in modulo, di un punto della piattaforma che disti r = 2m dall誕sse di rotazione.


SVOLGIMENTO


Dalla relazione


dw

= a = cost

dt


si ha


w(t) = adt + cost = at + cost


dove la costante rappresenta il valore iniziale (t = 0) della velocit angolare, w


w(t) = at + w


Poich la giostra parte da ferma si ha w = 0 e quindi:


w(t) = at


Per t = 2s si ha


w(2) = (0,2rad/s ) キ (2s) = 0,4 rad/s


L誕ccelerazione vettoriale del punto :


dv(t) d[v(t) t(t)] dv d t

a = = = t + v

dt dt dt dt


Il modulo della velocit vale v = wr, con r distanza del punto dall誕sse di rotazione. Dunque




dv d(wr) dw

at = = = r = ra

dt dt dt


v

an = = w r, w at

r


Nel problema in esame l誕ccelerazione tangenziale costante nel tempo, mentre la componente normale cresce col quadrato del tempo. Il modulo dell誕ccelerazione ha dunque l弾spressione:



a = at + an a r a r t ar 1 + a t


ESERCIZIO Nー 31


L弾quazione oraria di un punto mobile che si muove su traiettoria rettilinea s = At Bt.

Determinare le dimensioni fisiche delle due grandezze denominate A e B e le rispettive unit di misura;

ricavare le espressioni temporali della velocit e dell誕ccelerazione, deducendo il significato fisico di B;

trovare gli istanti di arresto del punto.


SVOLGIMENTO


Poich lo spazio percorso ha le dimensioni fisiche di una lunghezza, dalla legge oraria del moto se ne deduce che deve essere soddisfatta la seguente equazione dimensionale:


[L] = [A] [T] [B] [T]


e cio deve essere:


[L] = [A] [T] [A] = [L] [T]

[L] = [B] [T] [B] = [L] [T]-l


Le unit di misura di A e B sono dunque m s e m s-l rispettivamente.

L弾spressione temporale della velocit e dell誕ccelerazione si ottengono per derivazione della legge oraria, cio


ds

v = =3At B

dt


dv d s

a = = = 6At

dt dt


Dalla prima se ne deduce il significato fisico di B: essa rappresenta la velocit del punto al tempo t=0 (velocit iniziale).

Per trovare gli istanti di arresto del corpo basta uguagliare v a zero e risolvere rispetto al tempo:


v = 3At B = 0


da cui:


B

t =

3A


Affinch tale equazione abbia soluzioni reali deve essere


B

>0 e cio contemporaneamente A>0 e B>0 oppure contemporaneamente A<0 e B<0.

3A






ESERCIZIO Nー 32


Un punto materiale si muove di moto circolare uniforme con velocit angolare (costante) w, lungo una circonferenza di raggio r = 1.

Scrivere l弾quazione oraria del moto.

Scelto un sistema di assi sectiunesiani Oxy, con origine nel centro della circonferenza, scrivere l弾quazione OP(s) della traiettoria e l弾quazione OP(t) del moto.


SVOLGIMENTO


Trattandosi di un moto uniforme, l弾quazione oraria data da:


s = s + v t


dove s = arco di circonferenza percorso al tempo t

s = arco di circonferenza iniziale.


Si consideri ora la seguente ura:


y



P


q W x

O H




Supponiamo che al tempo t=0 il punto si trovi sovrapposto al punto W. Si ha allora:


s


e quindi


s = v t


Per ricavare l弾quazione della traiettoria scomponiamo il vettore OP nella somma delle sue due componenti vettoriali lungo i due assi:


OP = OH + HP


con OH = (rcosq) i

HP = (rsenq) j


Avendo scelto l誕sse x lungo la direzione OW W origine sulla traiettoria) la lunghezza dell誕rco WP s e quindi:


s

q

r


Da ci si ricava l弾quazione OP(s) della traiettoria:



s s

OP(s) = (rcos ) i + (rsen ) j

r r


Tenuto conto poi che s = v t, si ricava l弾quazione OP(t) del moto:


v t v t

OP(t) = (rcos ) i + (rsen ) j

r r


che pu essere scritta (ricordato che w = v /r)


OP(t) = (rcos wt) i + (rsen wt) j



ESERCIZIO Nー 33


Il moto di un punto P descritto dall弾quazione:


OP(t) = (Acos(at)) i + (Asen(at)) j + (bt g) k


Determinare le dimensioni fisiche di A, a b g

Trovare il versore tangente alla traiettoria quando A=2m, a=2s-l b=3m/s, g=2m.

Determinare il raggio di curvatura della traiettoria.

Determinare l弾quazione oraria s=s(t).

Studiare la forma della traiettoria, deducendone infine il passo.




SVOLGIMENTO


Il vettore OP(t) ha le dimensioni di una lunghezza. Ne segue quindi:


[L] = [Acos(at)]

[L] = [Asen(at)]

[L] = [bt g


Dalla terza si ricava:


g] = [L]

b] = [L][T]-l


Dato che sen e cos sono funzioni, esse devono essere adimensionali, e dato che l誕rgomento di una funzione deve essere anch弾sso adimensionale si ha:


[A] = [L]

a] = [T]-l


Per trovare il versore tangente alla traiettoria, basta osservare che il vettore velocit sempre tangente alla traiettoria, quindi possiamo scrivere:


dOP

v dt

t = =

v v


Derivando OP si ottiene:


dOP

v = = ( Aasen(at)) i + (Aacos(at)) j + b k

dt


Quindi:


v = vx + vy + vz = A a sen at) + A a cos at) + b = A a b


Sostituendo i valori A=2m, a=2s-l b=3m/s, g=2m si ottiene


v = 5m/s


( Aasen(at)) i + (Aacos(at)) j + b k -4sen(2t) 4cos(2t)

t = = i + j +3k

5 5 5


Dal fatto che v indipendente dal tempo, ne segue che il moto uniforme. Il punto materiale sar dunque soggetto alla sola accelerazione centripeta:


v

acp = n dove n il versore normale alla traiettoria

r


Da ci si ricava


v

acp = (essendo n = 1)

r


Quindi


v

r =

acp


Occorre dunque ricavare acp. Sapendo che l誕ccelerazione si ottiene per derivazione della velocit, si ottiene:


dv

a = = ( Aa cos(at)) i + ( Aa sen(at)) j

dt


a = A a cos at) + A a sen at) = A a = Aa


Quindi il raggio di curvatura


v A a b

r = = = 3,125m

acp A a


d s

Ora sapendo che v = si ricava

dt

d s = vdt


Da questa relazione, valutando i moduli, otteniamo:


ds = vdt = A a b dt


L弾quazione oraria s(t) si ottiene integrando tale uguaglianza:


s t

ds = A a b dt



dove abbiamo scelto come origine sulla traiettoria la posizione occupata dal punto all段stante t=0. Si ottiene quindi

s = A a b t


equazione tipica del moto uniforme.

Il moto di P pu essere visto come la sovrapposizione di due movimenti, uno lungo lasse z e l誕ltro in un piano parallelo al piano x-y. Il primo un moto rettilineo uniforme, perch vz, che uguale a b, costante nel tempo. Il secondo un moto circolare uniforme come appare confrontando la (rcos(wt)) i + (rsen(wt)) j dell弾sercizio precedente, l弾spressione


(Acos(at)) i + (Asen(at)) j




che rappresenta la posizione di OP su un piano parallelo a x-y. ne segue che la traiettoria un弾lica cilindrica


Nel tempo T=2p a che occorre per compiere un段ntera circonferenza (periodo del moto circolare che avviene nel piano parallelo), l誕vanzamento nella direzione z


sz bT = b p a


che rappresenta appunto il passo dell弾lica.



ESERCIZIO Nー 34


Un punto materiale si muove nel piano x-y con equazione data da:


OP = ct i + be-kt j (con t > 0)


Trovare le dimensioni fisiche di c, b, k.

Determinare l弾quazione della traiettoria.

Trovare la dipendenza temporale della velocit e dell誕ccelerazione. Studiare il moto nel caso asintotico tV


SVOLGIMENTO


Poich OP ha le dimensioni fisiche di una lunghezza, allora anche ct e be-kt devono avere tale dimensione. Ricordato che una funzione adimensionale, si ha:


[b] = [L]

[c] = [L][T]-l


Inoltre poich l誕rgomento di una funzione deve essere adimensionale anch弾sso, allora:


[k] = [T]-l


Per determinare l弾quazione della traiettoria, scriviamo la legge oraria nella rappresentazione sectiunesiana:


x(t) = ct

y(t) = be-kt


Ricavando t dalla prima e sostituendo nella seconda si ottiene l弾quazione della traiettoria:


x

t =

c


y(x) = be-kx/c


dOP dv

Sapendo che v = e a = si ha

dt dt


dx(t)

vx = = c

dt

da cui v = vx + vy = c + k b e-2kt

dy(t)

vy = = b(-k)e-kt

dt



dvx

ax = = 0

dt

da cui a = ax + ay = ay = ay

dvy

ay = = bk e-kt

dt


Nel caso asintotico tV si ha:


xV

yV


vV c = c

aV


Il moto tende a diventare uniforme e la traiettoria tende asintoticamente all誕sse x.



ESERCIZIO Nー 35


Nel piano x-y un versore u ruota con velocit angolare costate mantenendo la sua origine fissa nell弛rigine O del sistema di assi.


Calcolare du/dt.

Indicato con t il versore normale ad u ed orientato nel verso in cui si muove l弾stremo libero di u, calcolare dt /dt.


SVOLGIMENTO

y y


t

u

x x


L弾stremo libero di u percorre una traiettoria circolare di raggio 1. Il suo moto allora un moto circolare uniforme (in quanto w=cost). Ricordato che il vettore velocit sempre tangente alla traiettoria e diretto come il verso di percorrenza lungo la traiettoria, e ricordato che dato un vettore a di modulo costante, il quale ad un certo istante ruoti con velocit angolare pari ad w, la sua derivata da/dt un vettore di modulo pari ad wa e ruotato rispetto ad a di p/2 nel senso in cui ruota a, si ha:


du

v =

dt


In modulo:


du

v = = w

dt


Indicato con t un versore tangente alla traiettoria nel punto P (estremo libero di u) ed orientato nel verso del moto si ha:


v = vt wt


Quindi


du

wt

dt


Il versore t, essendo costantemente perpendicolare ad u, ruota anch弾sso con velocit angolare w. Applicando le stesse considerazioni fatte per du/dt si ottiene:


dt

= -wu

dt


Infatti la derivata di t deve avere modulo pari ad w e deve essere diretto perpendicolarmente a t, cio come u ed avere verso opposto a quello di u.










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