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Stabilità delle reazioni - Criteri di stabilità



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CAPITOLO 9


Stabilità delle reazioni


9.1. Criteri di stabilità


In generale, dato un sistema che presenta una funzione di trasferimento F(s), dove s=s+jw, condizione necessaria affinché il sistema sia stabile è che i poli di F(s) non compaiono nel semipiano positivo (zero compreso) delle s

Limitando il discorso agli amplificatori, vediamo ora un criterio per determinare la loro stabilità.



 











9.1.1. Criterio di Nyquist


Il sistema che prendiamo in analisi presenta dunque un anello di reazione e una funzione di trasferimento con questa forma:



Facciamo l’ipotesi che i blocchi G e H siano in partenza stabili, in altre parole non abbiano poli per s

Questo significa che neanche il denominatore di GF



presenta dei poli.

Immaginando di scomporre M(s) in numeratore N(s) e denominatore D(s), abbiamo che, per le ipotesi fatte,  D(s) non presenta poli per s 0. Quindi non resta che stabilire se N(s) presenta degli zeri, oppure, equivalentemente, se M(s) presenta degli zeri.

In conclusione si ha stabilità quando 1+GH non presenta zeri (né poli per ipotesi) per  s


Per determinare il numero e la posizione dei poli possiamo utilizzare un risultato della teoria delle funzioni analitiche che mette in relazione il comportamento di F(s) con il numero dei suoi zeri e dei suoi poli.











Con riferimento alle . 9.2a e 9.2b, la quantità è uguale al numero di inviluppi di F(s) intorno all’origine (il verso di rotazione dipende da quale delle due quantità è maggiore). Se il dominio D scelto non comprende poli e zeri, oppure se il numero dei poli è uguale al numero degli zeri, F(s) non inviluppa l’origine (inviluppare l’origine=compiere un giro completo intorno all’origine).

Per le considerazioni precedenti, sappiamo che la nostra F(s) non presenta poli per  s 0; di conseguenza, qualunque contorno contenuto nel semipiano s 0 noi consideriamo, la nostra F(s) non dovrebbe inviluppare l’origine. Se ciò accade significa che esiste almeno uno zero nel semipiano s 0 e quindi il sistema è instabile. Il contorno più grande che possiamo considerare è quello che contiene tutto il semipiano s 0, quindi:



In definitiva, noi dobbiamo studiare la quantità 1+G(s)H(s) nell’intorno dell’origine; se questa funzione contorna l’origine il sistema è instabile, altrimenti è stabile.

Equivalentemente, ed è quello che faremo, possiamo studiare la funzione G(s)H(s) nell’intorno di 1. Inoltre, siccome G(s)H(s) è a coefficienti reali, è simmetrica rispetto all’asse reale, quindi possiamo limitare lo studio all’intervallo [0,+

Per fare questo utilizziamo un diagramma polare ( 9.3b), su cui disegniamo, al variare di jw da 0 a + , il modulo e la fase di GH.

9.3b

 













In ura 9.3a compaiono due forme tipiche di GH(jw) per gli amplificatori. Vediamo che la curva che passa tra 0 e 1 (non contorna l’1) indica un sistema stabile, mentre la curva che passa oltre l’1 indica un sistema instabile.

9.1.1.1. Margine di guadagno e di fase


Il criterio che abbiamo visto è teorico. Nella pratica occorre avere un margine maggiore per decidere se un sistema è stabile oppure no.

Consideriamo la fase di GH quando |GH|=1;

nell’esempio di 9.4, la curva che passa internamente a 1 interseca la circonferenza di raggio 1 nel punto A, e qui la fase a vale circa 225°; la curva che passa esternamente a 1 interseca la circonferenza nel punto B, e qui la fase a vale circa 135°.


 

















Definizione: Margine di fase = fase di GH (quando |GH|=1) ­- 180°

Nell’esempio il margine di fase della prima curva è 225°-l80°=45°, il margine di fase della seconda curva è 135°-l80°=-45°.

Il criterio teorico, tradotto secondo il margine di fase, dice:

se margine di fase > 0 T sistema stabile

se margine di fase < 0 T sistema instabile


Il criterio pratico dice:

se margine di fase T sistema “ingegneristicamente” stabile

se margine di fase < 45° T sistema “ingegneristicamente” instabile


Definizione: Margine di guadagno (in dB) = |GH| quando fase di GH=180°



Nell’esempio, quando la fase è 180°, la prima curva ha modulo <1, quindi il margine di guadagno è >0, la seconda ha modulo >1, quindi il margine di guadagno è <0.

Il criterio teorico, tradotto secondo il margine di guadagno, dice:

se margine di guadagno > 0 T sistema stabile

se margine di guadagno < 0 T sistema instabile


9.1.2 Criterio di Bode


Il criterio di Bode discende da quello di Nyquist ma è più semplicistico. Nonostante questo, per noi va benissimo, perché limitiamo il nostro studio agli amplificatori.














Esiste una precisa corrispondenza tra il grafico di 9.4a e quello di . 9.4b. A destra abbiamo il comportamento modulo/fase di GH al variare di jw, tracciato su un diagramma polare, a sinistra abbiamo il comportamento del modulo di GH, tracciato su un diagramma di Bode. Al diminuire della fase (da -45° a -l80°) il modulo diminuisce fino a diventare minore di 1: questo accade a destra quando la curva interseca la circonferenza unitaria, a sinistra quando la curva passa al di sotto dell’asse X (0 dB).

Il criterio di Nyquist ci dice che una curva di questo tipo ( 9.4b) indica instabilità del sistema. A sinistra ( 9.4a) osserviamo che la curva taglie l’asse X con una pendenza di -40dB/decade.














In questo secondo caso il criterio di Nyquist ci dice che il sistema è stabile, perché la curva non contorna l’1. In 9.5a osserviamo che la curva taglia l’asse X (cioè |GH| diventa minore di 1, o minore di 0dB) quando la sua pendenza è pari a -20dB/decade. In . 9.5b notiamo che la curva taglia la circonferenza unitaria con un margine di fase maggiore di 45°, viene quindi rispettato la condizione “pratica” di stabilità.

Da queste considerazioni si può dedurre che la curva del modulo di GH non deve tagliare l’asse X con un’inclinazione superiore a -20 dB/decade, altrimenti il sistema è (praticamente) instabile. Il caso estremo si ha quando il margine di fase è proprio 45°, cioè quando la curva a destra taglia la circonferenza unitaria proprio a -l35° (cioè a 225°). Questo caso è rappresentato dai grafici di 9.6 a e 9.6b; a  sinistra abbiamo che l’inclinazione della curva cambia proprio nel punto di intersezione con l’asse X.














Chiamando a il polo a sinistra e b il polo a destra, quando si verifica questa condizione abbiamo che la seguente relazione è vera:



Infatti il segmento di curva che unisce i due poli ha un’inclinazione di  -20dB/decade, cioè è inclinata di 45 gradi, quindi la distanza che separa i due poli sull’asse X è pari alla distanza che li separa sull’asse Y, distanza pari a G0H.

Abbiamo visto in precedenza che quando questa relazione è soddisfatta il sistema presenta i seguenti valori:

Q=1, k=1/2 e w a


9.2. Compensazione in frequenza


Consideriamo uno dei quattro amplificatori, per esempio l’amplificatore di tensione, rappresentato in . 9.7.

Come sappiamo, per calcolare il guadagno di anello dobbiamo eliminare il generatore esterno ed esprimere vi in funzione di :


(a seconda di quale definizione di Ga si utilizza)

 












La curva di risposta in frequenza di un amplificatore operazionale ha il tipico andamento rafurato in . 9.8.

Questo è l’andamento tipico della curva di risposta di un amplificatore operazionale non compensato; essa presenta 3 poli naturali.

Ora vogliamo disegnare la curva di risposta dell’amplificatore di tensione, considerando quindi l’effetto della reazione. In altre parole vogliamo disegnare l’andamento di |Ga|.

 












Guardando la formula che ci fornisce Ga, possiamo vedere che l’andamento di |Ga| è graficamente pari alla somma degli andamenti di |A| e di . In 9.9 sono rappresentati separatamente i grafici relativi a queste due quantità.

Nota che:

, quindi la retta oizzontale che rappresenta questa quantità rimane sotto l’asse a 0 dB.

 












Sommando i due grafici otteniamo il grafico di 9.10, che è uguale al grafico di |A| ribassato di una quantità pari al partitore delle resistenze. Se il partitore valesse 1 (=0dB), non ci sarebbe nessuna modifica all’andamento; più il partitore ha un valore vicino a zero, maggiore è l’abbassamento. Se l’abbassamento è sufficientemente grande, il sistema diventa stabile, perché la curva taglia l’asse 0dB con un’inclinazione di -20dB/decade; se l’abbassamento è insufficiente, il sistema è instabile.

 

|G a|

 

















Un modo per stabilizzare l’anello è quello del polo dominante. In generale occorre inserire un blocco di compensazione C all’interno dell’anello di reazione ( 9.11)







Come rappresentato in 9.12, si tratta di inserire un polo ad una frequenza molto bassa, in modo da ridurre la pendenza della curva.


f1 : primo  polo naturale

fc : polo di compensazione


In questo modo la curva taglia l’asse 0dB con una pendenza di -20dB/decade e il sistema è stabile.

 













Nota che vale la seguente relazione:


Infatti, visto che un’inclinazione di 20dB/decade significa un’inclinazione di 45°,  la distanza che separa i due poli è pari all’altezza massima della curva.

Inserendo il polo di compensazione otteniamo un sistema con 4 poli, ma i due poli naturali più a destra si trovano molto sotto all’asse 0 dB e quindi sono trascurabili (ricorda che a 0dB il guadagno è pari a 1).


Riassumendo: l’abbassamento dovuto al partitore e il polo di compensazione sono due fattori concomitanti che portano il sistema alla stabilità. Se l’abbassamento è grande, il polo di compensazione può essere messo a una frequenza più grande; se l’abbassamento è piccolo, al limite nullo, il polo di compensazione deve essere messo a una frequenza molto bassa.

La curva dell’amplificatore compensato risultante è rappresentata in 9.13.

Indicativamente, il polo di compensazione cade a una frequenza intorno a 1 Hz, mentre il polo naturale si trova generalmente intorno ai 50-l00 kHz. Per inserire il polo di compensazione occorre mettere un condensatore in parallelo al segnale; negli amplificatori operazionali il condensatore utilizzato ha un valore di circa 10 pF  sfrutta l’effetto Miller (vedi su slide il valore C0).

 









Un polo a così bassa frequenza apparentemente non comporta nessun problema. In realtà il guadagno di anello inizia ad abbassarsi già a basse frequenze, e tutti vantaggi legati all’avere un alto guadagno subiscono una diminuzione: il comportamento dell’anello non è più efficace come prima (insensibilità ai rumori, valore preciso nel guadagno di anello).


Un’altra soluzione consiste nell’introduzione di una coppia polo-zero. Immaginiamo di avere un sistema instabile avente la curva di risposta rappresentata in . 9.14.

Sul grafico e anche l’eventuale polo di compensazione, ad una frequenza molto bassa.

Proviamo ora ad inserire uno zero alla stessa frequenza del primo polo naturale (quello a frequenza minore), annullo quel polo e la curva si modifica come descritto in . 9.15.

 

Otteniamo una curva traslata a destra,  dove quello che era il secondo polo è diventato il primo polo. Se a questo punto vogliamo inserire il polo di compensazione, possiamo metterlo più a destra rispetto alla situazione precedente, in modo che il guadagno rimanga alto per un campo di frequenze più ampio.

 
























Abbiamo già visto in precedenza che per piazzare una coppia polo-zero occorre inserire in parallelo al segnale una coppia resistenza - condensatore; la posizione dello zero dipende dai valori di R e C, quindi posso piazzare lo zero con grande precisione.

Quelle che abbiamo visto sono le uniche due tecniche applicate agli amplificatori operazionali.


9.2.1 Compensazione dell’integratore


Consideriamo il circuito integratore di . 9.16 e calcoliamo il guadagno di anello Ga con la solita procedura:


 








Disegniamo sul diagramma di Bode il grafico dell’andamento di |A| (classica curva a tre poli dell’amplificatore operazionale) e dell’andamento di  (. 9.17).

La curva a tratto sottile rappresenta l’andamento di |A|, mentre la curva a tratto spesso rappresenta l’andamento di .

Come si può vedere, quando s , la seconda curva tende a 0dB (cioè a 1).

Se adesso sommiamo graficamente le due curve, otteniamo il grafico di . 9.18.

 














Si vede chiaramente (criterio di Bode) che il sistema è instabile.

Se applichiamo ora il metodo del polo dominante, otteniamo il risultato presentato in . 9.19.

 













Nonostante l’introduzione del polo di compensazione, il sistema è ancora instabile. Infatti, in questo caso, il punto da prendere come polo di compensazione non è l’intersezione tra  la curva di risposta C e la retta R con pendenza 20dB/decade che parte dal primo polo naturale.

 




























9.2.2. Compensazione del derivatore


Consideriamo il circuito derivatore di 9.21 e immaginiamo che l’amplificatore operazionale impiegato sia compensato internamente (quindi ha un polo dominante).

Calcoliamo il guadagno di anello:


Disegniamo separatamente la curva di |A| e di ( 9.22). Componendo i due grafici otteniamo la curva di 9.23.

 

Questa curva indica un sistema instabile.

Una regola pratica da seguire è la seguente:

l’amplificatore operazionale compensato internamente va bene se la rete in cui è inserito è solo passiva. In caso contrario bisogna mettere un amplificatore da compensare e lo adatto alla rete.

 































9.2.3. Un altro esempio

Prendiamo in esame il circuito di 9.24. L’idea (sbagliata) è quella di inserire un condensatore con l’intenzione di eliminare un po’ di rumore sull’uscita. Nota: l’amplificatore operaz. In questione è compensato internamente.

In questo caso teniamo conto anche di Ro che, anche se piccola, fa sentire la sua influenza.

Calcoliamo dunque Ga:

 














Il guadagno di anello presenta un polo, quindi la curva del sistema (che senza condensatore è stabile) si trasforma nel modo descritto in . 9.25.

Con l’introduzione del nuovo polo, dovuto alla presenza del condensatore, il sistema diventa instabile.

 













9.3. Considerazioni sull’oscillazione


Quando un sistema non è stabile, lo si chiama generalmente “sistema oscillante”, ma qual è la causa di tale oscillazione? La rotazione di fase introdotta nell’anello (dovuta a poli e zeri) può modificare il verso della reazione; in particolare, se la rotazione è di 180°, la reazione cambia di segno ad ogni ciclo (da positiva diventa negativa e viceversa).

Esisterà una frequenza particolare alla quale la rotazione di fase è tale da invertire il verso della reazione; se il guadagno di anello è maggiore di 1, a quella frequenza l’uscita aumenta (in modulo) ad ogni giro; se invece il guadagno è uguale a 1, l’ampiezza del segnale non viene modificata mentre il verso si inverte ad ogni giro. Siccome questo fenomeno avviene ad una sola e ben precisa frequenza, in ingresso e in uscita devo una sinusoide.

Le condizioni alle quali avviene questo fenomeno sono dette condizioni di Barkhausen:


rotazione di fase complessiva = 0

modulo del guadagno di anello = 1


Se il guadagno è maggiore di 1, la sinusoide in uscita avrà un’ampiezza crescente. Ma siccome la dinamica non è infinita ( 9.26), la tensione di uscita Vu non può crescere all’infinito.

Ad un certo punto il sistema esce dalla zona di linearità e si ottiene un’oscillazione “sporca” ( 9.27).

 












Per ottenere un’oscillazione “pulita” devo fare in modo che il sistema rimanga in linearità.

 

 






Ma il problema è un altro; abbiamo visto che per attivare l’oscillazione occorre avere una precisa frequenza che soddisfi le condizioni di Barkhausen; ma questo significa avere in ingresso una sinusoide pulita, che è quella che non abbiamo e che vogliamo ottenere in uscita.

Nei circuiti reali c’è sempre del rumore, composto da un gradissimo numero di frequenze, e tra queste ci saraà quella particolare frequenza che innesca l’ocillazione. Però inizialmente il guadagno dovrà essere maggiore di 1, in modo da raggiungere una certa ampiezza; una volta che la sinusoide si è creata, occorre rimettere il guadagno a 1, in modo da stabilizzare la reazione e fissare l’ampiezza della sinusoide. Questa operazione di controllo è svolta da un circuito che si chiama appunto: circuito di controllo dell’ampiezza.

CAPITOLO 9


SOMMARIO


9.1. Criteri di stabilità

9.1.1. Criterio di Nyquist..

9.1.1.1. Margine di guadagno e di fase

9.1.2 Criterio di Bode..

9.2. Compensazione in frequenza.

9.2.1 Compensazione dell’integratore.

9.2.2. Compensazione del derivatore

9.2.3. Un altro esempio..

9.3. Considerazioni sull’oscillazione..








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