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LA TEORIA DELLA RELATIVITA’ RISTRETTA

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LA TEORIA DELLA RELATIVITA’ RISTRETTA

Secondo la scienza antica e medievale, lia della filosofia aristotelica, per mantenere in moto un corpo è necessario esercitare su di esso una forza. Sviluppando tale concetto, Galileo Galilei giunse alla conclusione che tale forza non serve in realtà a mantenere il corpo in movimento, quanto a compensare tutte le forze che tenderebbero a frenarlo:

Legge di inerzia. Un corpo dotato di una certa velocità tende a mantenere all’infinito il suo stato di moto rettilineo uniforme se non intervengono forze che ne frenino o ne disturbino il moto.

Il passo successivo di Galileo fu quello di considerare il concetto di sistema di riferimento: ogni osservatore, infatti, osserva e descrive un fenomeno naturale dal proprio “punto di vista” ed è dunque importante capire come questo possa influenzare la percezione del fenomeno stesso.

Osservando che non esistono sistemi di riferimento privilegiati nell’osservazione di un moto, Galileo giunse ad enunciare il Principio di Relatività Galileiana:



Le leggi del moto osservate da due osservatori che si muovono di moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro (osservatori inerziali) sono le stesse.

E’ importante sottolineare che si parla di sistemi di riferimento in cui è valido il principio di inerzia. Da questo punto di vista, anche un sistema di riferimento fermo rispetto alla Terra è inerziale solo in maniera approssimata: la Terra, infatti, ruota su stessa ed intorno al Sole.

La fisica classica ci permette di trovare le relazioni che esistono tra le quantità che descrivono il moto di un corpo in diversi sistemi di riferimento. Tali relazioni, descritte per la prima volta proprio da Galileo, vengono chiamate Trasformazioni di Galileo.

Consideriamo due sistemi di riferimento inerziali: S(x,y,z,t) e S′(x′,y′,z′,t′), quest’ultimo in moto rettilineo uniforme, con velocità v, rispetto ad S.

Un corpo che si muove, ad esempio, lungo l’asse x, verrà allora descritto nei due sistemi tramite tali trasformazioni:

                       

x = x′ + vt

                                    y = y′

                                    z = z′

                                    t = t′

L’osservazione diretta di fenomeni naturali porterà ad un importante conclusione: quando si ha a che fare con oggetti che si muovono con velocità prossime alla velocità della luce, le trasformazioni di Galileo non valgono più.

La luce

 

Tutta la materia è formata da atomi i quali contengono cariche negative e positive che, in un atomo neutro, si compensano tra loro. Ogni carica esercita una forza sulle altre cariche, creando intorno a sé un campo elettrico. Allo stesso modo, intorno ad un magnete si viene a creare un campo magnetico. Quest’ultimo viene generato anche dalle correnti elettriche e per questo una carica elettrica in movimento è circondata da un campo sia elettrico che magnetico, detto campo elettromagnetico.

La teoria riguardante i fenomeni elettrici e magnetici, detta “elettromagnetismo classico” è riassunta nelle Equazioni di Maxwell: queste mostrano che, facendo oscillare cariche o correnti elettriche, è possibile generare onde nel campo elettromagnetico, che poi possono proarsi a grande distanza trasportando con sé energia.



Anche la luce è costituita da onde elettromagnetiche e, tramite le equazioni dei Maxwell, è possibile calcolarne la velocità assoluta (c ≈ 300.000 km/sec). Questo, dal punto di vista della meccanica classica, può sembrare un fatto strano in quanto abbiamo visto che la misura di una velocità è legata alla scelta di un sistema di riferimento. Per cercare di superare questo ostacolo concettuale venne proposta l’idea dell’etere: così come il suono è fatto di onde che si proano nell’aria, così la luce si pensava fosse fatta di onde elettromagnetiche che si proano nell’etere. Pertanto la luce dovrebbe avere una velocità pari a c solo in un sistema di riferimento fermo rispetto all’etere.

Secondo la teoria dell’etere, la Terra, muovendosi intorno al Sole, dovrebbe muoversi anche rispetto all’etere; dunque, se la luce si muove con velocità c rispetto all’etere, dalla Terra si dovrebbe misurare una velocità diversa. Per misurare questa differenza, Michelson e Morley misero a punto un esperimento. Esso si basa su un confronto tra il tempo che la luce impiega a percorre due cammini fra loro uguali: il primo orientato nella direzione di moto della Terra, il secondo perpendicolare a questo. Il risultato di tale esperimento fu che la velocità della luce era sempre la stessa, indipendentemente dal moto terrestre.

La Relatività Ristretta

Con la Teoria della Relatività Ristretta, formulata nel 1905, Einstein rimise in discussione concetti familiari come tempo, spazio, massa e energia.

I principi su cui si basa tale teoria sono due:

  1. Il principio di relatività: un osservatore, facendo qualunque tipo di sperimenti e misure, troverà che essi sono governati dalle stesse leggi qualunque sia il sistema di riferimento in cui si trova.
  2. Il principio di costanza della velocità della luce: la velocità della luce nel vuoto è la stessa qualunque sia il sistema di riferimento da cui la si guardi. Inoltre, nessun oggetto o segnale può muoversi ad una velocità superiore a quella della luce.

Il secondo principio, la costanza della luce, è in contrasto con le trasformazioni di Galileo: queste ultime dunque, che valgono per oggetti e sistemi di riferimento che si muovono a velocità piccola rispetto alla velocità della luce, non valgono più per velocità prossime a c.

Questo fatto portò Einstein a riconsiderare il concetto di tempo. Per la fisica classica il tempo era “assoluto” (nel ricavare le trasformazioni di Galileo abbiamo infatti posto t = t′). Einstein arrivò invece a dire che, come la posizione, anche il tempo è relativo, dipende cioè dal sistema di riferimento.

Prendiamo due orologi a pendolo e poniamoli uno in un sistema di riferimento fisso, rispetto a noi, e l’altro in un sistema di riferimento mobile, sempre rispetto a noi. A questi orologi affianchiamo due orologi a luce, nei quali l’oscillazione del pendolo è sostituita da un raggio di luce che, emesso da una sorgente luminosa, viene riflesso indietro da uno specchio. Quando entrambi i sistemi di riferimento sono fissi, tutti e quattro gli orologi misurano lo stesso tempo.

Il cammino della luce nell’orologio nel sistema fisso è un cammino verticale: la luce percorre un tratto verso l’alto, viene riflessa dallo specchio e torna in basso. Per un osservatore che si trovi nel sistema mobile anche la luce dell’orologio di tale sistema compirà lo stesso percorso. Un osservatore fisso vedrà invece la luce dell’orologio nel sistema mobile muoversi orizzontalmente oltre che verticalmente: questo fa sì che il percorso compiuto dal fascio di luce sia triangolare e dunque più lungo di quello dell’orologio fisso. Poiché la luce viaggia alla stessa velocità nei due sistemi, impiegherà più tempo ad andare su e giù nel sistema mobile che nel sistema fisso: quindi noi vediamo l’orologio mobile ritardare rispetto a quello fisso. L’orologio a pendolo che si trova nel sistema mobile continuerà ad andare d’accordo con l’orologio a luce del suo sistema di riferimento e dunque ritarderà con esso. Per il principio di relatività, tale sistema è simmetrico.

Tale fenomeno di rallentamento del ritmo di scorrimento del tempo viene chiamato Dilatazione del tempo:      

Δt = Δt′ / √(1 – (v/c)2)




dove Δt è un intervallo di tempo nel sistema fisso; Δt′ è un intervallo di tempo nel sistema mobile; v è la velocità del sistema di riferimento mobile; c è la velocità della luce.

Nella teoria della relatività anche la lunghezza di un oggetto diventa una quantità relativa: di tanto il tempo si dilata, di altrettanto si contrae la lunghezza quando dal sistema di riferimento fisso si osservi quello mobile.

E’ importante osservare che la contrazione riguarda solo quelle lunghezze che sono disposte nella stessa direzione in cui il sistema di riferimento mobile si muove.

Combinando la legge di contrazione delle lunghezze con quella di dilatazione del tempo è possibile ricavare la Legge di trasformazione delle velocità, che ci permette di calcolare, stando in un sistema fisso, la velocità di un oggetto in moto rispetto ad un sistema di riferimento mobile. Tale legge, finché le velocità in gioco sono piccole rispetto alla velocità della luce, coincide con le leggi di trasformazione di Galileo.

Quando si considerano velocità prossime a c, non vediamo solo il tempo scorrere ad un ritmo diverso, ma troviamo che anche ogni posizione è caratterizzata da un suo tempo diverso. Dunque non è più possibile, come nella fisica classica, limitarsi a tre dimensioni spaziali per specificare un fenomeno fisico, ma è necessario aggiungere una quarta dimensione temporale. Gli eventi hanno dunque luogo in uno spazio a quattro dimensioni chiamato spazio-tempo.

L’analogo delle trasformazioni di Galileo in questo nuovo quadro descrittivo sono le Trasformazioni di Lorentz:


Oltre allo spazio e al tempo, la teoria della relatività comporta anche una revisione dei concetti di massa e energia.

La massa di un corpo determina due fattori: la forza con cui tale corpo viene attratto dalla Terra (forza gravitazionale); e la sua inerzia, cioè la resistenza che quel corpo oppone ad ogni tentativo di cambiare la sua velocità.

In fisica classica, l’energia cinetica è data dall’espressione:                     Ek = ½ mv2.

Poiché la velocità è una grandezza relativa, anche l’energia di movimento sarà una quantità relativa.

Immaginiamo di avere un corpo e di continuare a fornirgli energia. Come conseguenza il corpo continuerà ad incrementare la propria velocità. Ad un certo punto tale velocità raggiungerà il valore della velocità della luce e dunque non potrà più incrementare ulteriormente. Se si continua a fornire energia, questa dovrà allora essere assorbita dalla massa, che dovrà quindi aumentare all’aumentare dell’energia di movimento. Dunque si può concludere che l’energia può essere usata per produrre massa e viceversa si può produrre energia utilizzando massa.

Come per le altre quantità già analizzate, anche la massa diventa un concetto relativo, poiché assume un valore diverso a seconda del sistema di riferimento scelto.

L’importanza del lavoro di Einstein consiste nel aver saputo ricavare una legge generale che consente di scrivere le leggi di trasformazione non solo della massa, ma di qualunque grandezza fisica. Se passando da un sistema di riferimento ad un altro le varie quantità fisiche cambiassero in modo indipendente, una certa legge fisica potrebbe essere valida in un sistema di riferimento ma non in un altro. Per questo motivo ci deve essere una relazione che lega le trasformazioni dello spazio-tempo e le trasformazioni delle altre grandezze fisiche.

In base a queste considerazioni, Einstein concluse che la massa deve aumentare, da un sistema di riferimento fisso ad uno mobile, con la stessa legge con cui si dilata il tempo. Allo stesso modo concluse che energia e massa sono legate dalla relazione “principio di equivalenza della massa e dell’energia”:

E = mc2

ovvero, l’energia è uguale alla massa per la velocità della luce al quadrato.






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