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associativa - elemento neutro - inverso

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Def.:  Un insieme , su cui sia fissata un’operazione (ovvero una applicazione, una funzione):

                                 

                                 

          è detto gruppo  se l’operazione  gode delle seguenti proprietà:

1)  associativa: ;

2)  elemento neutro: : tale che ;

3)  inverso: in corrispondenza ad ogni elemento , , tale che .

Def.:  Il gruppo  si dice gruppo commutativo (o abeliano) se in più vale :

           4) commutativa :

          

Def.:  Un insieme , su cui siano fissate due operazioni (ovvero due applicazioni, due funzioni), 

          dette somma e prodotto:

                          

          è detto anello se valgono le seguenti proprietà:

1)  associativa per la somma : ;

2)  elemento neutro per la somma :  tale che ;

3)  opposto: in corrispondenza ad ogni elemento  tale che ;

4)  commutatività per la somma : ;

5)  associatività per il prodotto : ;

6)  proprietà distributive :

Def. :  Un anello  si dice con unità, se vale anche:

7)  elemento neutro per il prodotto :  tale che

Def. :  Un anello  si dice commutativo, se vale anche:

8)  commutatività per il prodotto :

Def. :  Si dice che un anello è anello a divisione (o corpo), se è anello con unità e in più vale:

9)  inverso : in corrispondenza ad ogni elemento , tale che:

          

Def. : Un anello commutativo a divisione si definisce campo. (In pratica  è un campo se sono

          soddisfatte le condizioni 1-9).





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