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LA TEORIA QUANTISTICA - MECCANICA DELLE MATRICI E ONDULATORIA, EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER, PRINCIPIO GENERALE DELLA MECCANICA QUANTISTICA, TEORIA QUANTI



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LA TEORIA QUANTISTICA

Le teorie q. interpretano fenomeni atomici e subatomici le cui descrizioni e spiegazioni non sono possibili con i modelli teorici proposti dalla meccanica e dall'elettromagnetismo classici. La parte fondamentale di queste teorie è la meccanica q., le cui basi concettuali e la cui elaborazione risalgono al periodo tra il 1923 e il 1927; negli anni successivi fu sviluppata sempre con maggior ampiezza e applicata con successo in tutti i campi della fisica atomica. Essa si presentò agli inizi sotto due aspetti in apparenza diversi, ideati indipendentemente e quasi contemporaneamente l'uno da L. V. de Broglie (meccanica ondulatoria) e l'altro da Heisenberg (meccanica delle matrici), i quali conducevano a identici risultati nei problemi a cui venivano applicati. Schrödinger dimostrò che i due metodi erano matematicamente equivalenti. Successivamente, per opera di E. Jordan e P. Dirac la meccanica q. ricevette una formulazione molto più generale, in cui la meccanica ondulatoria e quella delle matrici rientravano come casi particolari. Il principio di corrispondenza tra meccanica classica e meccanica q. della teoria di N. Bohr venne precisato da P. Ehrenfest con un teorema che si basa sulle leggi della meccanica q.; l'introduzione dei concetti relativistici nelle teorie q. determinò un successivo ampliamento e approfondimento delle stesse.




MECCANICA DELLE MATRICI E ONDULATORIA

La meccanica delle matrici, elaborata da W. Heisenberg, Born e Jordan, associa a ogni grandezza fisica una matrice, per cui le equazioni del movimento delle particelle risultano in forma matriciale. La meccanica ondulatoria è fondata sulle ricerche di De Broglie, che attribuì alla materia un carattere ondulatorio e associò a ogni particella di impulso p ed energia E un'onda monocromatica di frequenza n=E/h e di lunghezza d'onda l=h/p, dove h è la costante di ck. Le esperienze di C. Davisson e L. Germer (1927), di G. P. Thomson e G. P. Rupp (1928) sulla diffrazione degli elettroni e quelle di Stern sulla diffrazione degli atomi di elio e delle molecole di idrogeno confermarono le ipotesi di De Broglie. Schrödinger sviluppò la meccanica ondulatoria generalizzando il concetto di onda associata a una particella e formulando l'equazione che sta alla base della meccanica q. e che da lui prende il nome. Nella teoria di Schrödinger il moto di un punto materiale è descritto come il proarsi di un gruppo d'onde analiticamente rappresentato da una grandezza scalare complessa y (x, y, z; t), detta funzione d'onda, soluzione dell'equazione temporale di Schrödinger. Secondo l'interpretazione di Born il quadrato dell'ampiezza dello scalare y, in un dato punto dello spazio e in un dato istante, dà la misura della densità di probabilità che il corpuscolo ha di trovarsi in quel dato istante in quel punto. A questa interpretazione probabilistica si arrivò grazie all'acuta critica mossa da Heisenberg ai concetti della meccanica classica sostanzialmente contenuta nel principio da lui enunciato e noto come principio di indeterminazione. L'analisi di Heisenberg dei diversi metodi di misurazione delle grandezze relative a una particella portò a definire il concetto di complementarità tra grandezze fisiche. La contraddizione tra ipotesi q. e ipotesi ondulatoria della luce viene superata nella teoria q. dando alle grandezze che intervengono nell'ottica ondulatoria una nuova interpretazione: la funzione intensità luminosa I che si calcola con le equazioni dell'ottica ondulatoria rappresenta, p. es., la densità di probabilità che un fotone arrivi in un particolare punto.




EQUAZIONE DI SCHRÖDINGER

A ogni corpuscolo nella meccanica q. viene associato un gruppo d'onde caratterizzato da una grandezza vibrante y, detta anche onda di probabilità, che soddisfa l'equazione temporale di Schrödinger:


_[1vh8'f18_34.wmf'_[0v

dove D è l'operatore di Laplace, m è la massa del corpuscolo, h è la costante di ck, U è la funzione potenziale del campo di forze in cui si muove la particella. Per integrare l'equazione temporale di Schrödinger si possono separare le variabili spaziali da quella temporale e si ottiene l'equazione di Schrödinger degli stati stazionari:


_[1vh8'f18_35.wmf'_[0v

ponendo y(x, y, z; t)=u(x, y, z)j(t) e dove W è un parametro che dipende dall'energia della particella. L'equazione degli stati stazionari è un'equazione differenziale del 2º ordine e ammette soluzioni solo per determinati valori di W (W , W ,, Wn,) che diconsi autovalori; le soluzioni corrispondenti u , u ,, un, diconsi autofunzioni. L'esistenza di una successione di autovalori mostra come in un sistema atomico l'energia W può assumere solo una successione discreta o continua di valori che costituiscono i cosiddetti livelli energetici. L'esistenza di questi livelli viene dedotta come conseguenza del complesso di condizioni che si impongono alla funzione y perché essa sia ritenuta una soluzione accettabile dell'equazione di Schrödinger. Si può osservare un'analogia formale tra l'equazione degli stati stazionari che può essere riscritta nella forma




_[1vh8'f18_36.wmf'_[0v

e il teorema classico della conservazione dell'energia meccanica:


_[1vh8'f18_37.wmf'_[0v

dove m è la massa, H è l'hamiltoniana del sistema, px, py, pz sono i momenti coniugati alle variabili x, y, z. Se nell'ultima equazione si sostituiscono materialmente le variabili px, py, pz con gli operatori hermitiani


_[1vh8'f18_38.wmf'_[0v

il primo membro si muta nell'operatore che è applicato alla un; si può così dire che l'equazione di Schrödinger degli stati stazionari si ottiene trasformando l'hamiltoniana H in un operatore H mediante la sostituzione precedente e ricercando gli autovalori e le autofunzioni di questo operatore hermitiano mediante la H un=Wnun. Analogamente l'equazione temporale di Schrödinger si può scrivere:_[1vh8'f18_39.wmf'_[0v e la si ot- tiene dall'equazione classica della conservazione dell'energia H=E, sostituendo H con l'operatore H ed E con -_[1vh8'f18_40.wmf'_[0v e applicando gli operatori ot- tenuti alla y


PRINCIPIO GENERALE DELLA MECCANICA QUANTISTICA

Determinati con l'equazione degli stati stazionari i possibili valori dell'energia di un sistema, se ne può sviluppare la funzione di stato y in serie (o in integrale) delle autofunzioni un e i coefficienti an dello sviluppo sono tali che il loro quadrato rappresenta la probabilità che una misura dell'energia del sistema dia come risultato Wn. In generale, a ogni osservabile G si può far corrispondere un operatore lineare hermitiano, cioè avente autovalori solo reali, G i cui autovalori Gn rappresentano i possibili risultati di una misura di G e le autofunzioni corrispondenti jn, determinate dall'equazione Gjn=Gnjn, godono della proprietà che se il sistema si trova nello stato y i coefficienti cn dello sviluppo della funzione y in serie delle autofunzioni jn(e cioè y Sncnjn) sono tali che |cn rappresenta la probabilità che la misura di G dia come risultato il valore Gn. In generale, lo stato di un sistema è quantisticamente caratterizzato da un'osservazione massima, intendendo con ciò ogni osservazione del numero massimo di osservabili indipendenti che si possono conoscere contemporaneamente in modo esatto (osservabili compatibili) in base al principio di indeterminazione. Due osservabili A e B sono tra loro compatibili quando i rispettivi operatori A e B sono tra loro commutabili, cioè AB-BA=0. Il procedimento generale della meccanica q. è suscettibile di un'interpretazione geometrica molto espressiva, mediante la rappresentazione della funzione di stato y e degli operatori corrispondenti alle osservabili nello spazio hilbertiano. Data una funzione f(x) della variabile reale x, monodroma e definita in un intervallo (a, b), eventualmente infinito, gli infiniti valori di x da a a b possono considerarsi come un sistema di infiniti assi coordinati in uno spazio S¥ a infinite dimensioni e la funzione f(x) come un vettore in _[1vh8'f18_1013.wmf'_[0v, tale che un suo particolare valore f (x ) rappresenti la proiezione del vettore f sull'asse x (componente x del vettore). Tale spazio viene detto spazio funzionale. Analogamente una funzione f(x , x ,, xp) di p variabili, monodroma entro un certo campo C, eventualmente infinito, potrà interpretarsi come un vettore f in uno spazio funzionale _[1vh8'f18_1014.wmf'_[0v ad ¥p dimensioni, in cui ogni suo asse sarà caratterizzato da un gruppo p di numeri (x ,,xp). In fisica q. interessano quelle funzioni f(x), denotando con x globalmente le p variabili x ,, xp tali che òs f(x) f(x)d S è convergente (funzioni a quadrato sommabile), dove f(x) è la coniugata di f(x). L'integrale precedente, per definizione, è il quadrato del modulo di f. Le funzioni considerate sono rappresentate nello spazio funzionale da vettori di lunghezza determinata e finita, o anche da punti che hanno una distanza finita e determinata dall'origine. L'insieme di questi punti costituisce lo spazio hilbertiano, che è una parte dello spazio funzionale. Ai vettori dello spazio hilbertiano si estendono facilmente le operazioni dei vettori ordinari. La funzione di stato y, soluzione dell'equazione temporale di Schrödinger della teoria q., è interpretabile come un vettore dello spazio hilbertiano (vettore di stato). Dato un operatore A corrispondente a un'osservabile A, le sue autofunzioni jn normalizzate che soddisfano all'equazione degli autovalori Ajn=Anjn sono interpretabili come versori ortogonali nello spazio hilbertiano; ne deriva che tutto il formalismo che compendia il metodo generale della teoria q. è suscettibile di un'interpretazione puramente geometrica nello spazio hilbertiano. Le relazioni che implicano vettori e operatori nello spazio di Hilbert possono esprimersi in modo sintetico ricorrendo alle notazioni di Dirac. Secondo tali notazioni un vettore dello spazio di Hilbert si denota con un segno particolare |>, detto segno di vettore ket. Il complesso coniugato del vettore ket si denota con il simbolo <| e si dice vettore bra. La denominazione di bra e di ket deriva dal fatto che il segno di parentesi viene detto in inglese bracket. Il prodotto scalare di due vettori nello spazio hilbertiano j=|a> e y=|b> si indica <a | b>=(jy





TEORIA QUANTISTICA RELATIVISTICA

La meccanica q. non relativistica di una particella può essere generalizzata in modo da renderla invariante rispetto a una trasformazione di Lorentz. Questa generalizzazione non risulta univoca, cioè esistono più equazioni che al limite non relativistico si riducono all'equazione di Schrödinger e che si differenziano tra loro perché descrivono particelle dotate di diverso spin. Tra le più importanti si possono ricordare l'equazione di Klein-Gordon per particelle a spin nullo, l'equazione di Dirac per particelle a spin 1/2, l'equazione di Proca-Yukawa per particelle a spin 1. Più difficile è la generalizzazione relativistica della meccanica q. dei sistemi di più particelle, perché a velocità relativistiche è possibile la trasformazione di massa in energia e viceversa, per cui si possono avere variazioni di massa delle particelle e fenomeni di annichilazione. Per lo studio dei sistemi quantizzati di particelle interagenti si introduce il metodo basato sulla quantizzazione dei campi d'onda associati alle particelle che impiega un formalismo noto come teoria q. dei campi.

ELETTRODINAMICA QUANTISTICA E QUANTOCROMODINAMICA

L'elettrodinamica q. (QED) è la teoria che descrive l'interazione dell'elettrone con il campo elettromagnetico in cui si muove. Deriva dalla fusione della teoria dell'elettrone di Dirac e della teoria q. del campo elettromagnetico. L'elettrodinamica q. presentava nella sua prima formulazione difficoltà di carattere teorico apparentemente insormontabili. L'interazione fra due elettroni, p. es., viene spiegata come effetto dello scambio di fotoni, detti virtuali, tra di essi. Nel calcolo, la probabilità di una tale interazione risultava avere probabilità infinita, cosa ovviamente priva di senso. Gli infiniti ivano anche nella descrizione dell'elettrone libero. La soluzione delle difficoltà fu ottenuta introducendo un procedimento matematico detto di rinormalizzazione. La teoria rinormalizzata era in grado di predire misure di elettrodinamica con estrema precisione; si tratta, tuttavia, di una teoria intrinsecamente perturbativa, in cui cioè si assume che la costante di accoppiamento a sia piccola_[1vh8'f18_41.wmf'_[0v dove e carica dell'elet- trone, h costante di ck e c velocità della luce). In linea teorica non sembrerebbe dunque possibile predire il risultato di una misura fisica con precisione arbitrariamente grande (per esempio cento cifre significative), ma tale problema è puramente concettuale. Tutte le previsioni infatti concordano con i risultati sperimentali entro gli errori di misura. L'esempio più importante è il momento magnetico dell'elettrone, la cui previsione teorica e misura sperimentale concordano fino all'ottava cifra decimale. Il successo dell'elettrodinamica quantistica ha fatto sì che sia stata presa a prototipo come teoria per le altre interazioni tra particelle elementari la teoria delle interazioni elettrodeboli e la cromodinamica (o quantocromodinamica, QCD). Nella prima, le interazioni elettromagnetiche e le interazioni deboli sono trattate unitariamente e, anche in questo caso, l'interazione tra particelle viene mediata da altre particelle: i bosoni vettori W , W e Za0. Anche nella teoria elettrodebole è utilizzato un processo di rinormalizzazione. La quantocromodinamica è la teoria che descrive le interazioni nucleari forti assumendo come fondamentali solo alcune particelle dotate di carica elettrica frazionaria: i quark. Le particelle scambiate sono dette gluoni e costituiscono i quanti dei campi di colore. Il colore è una proprietà dei quark analoga alla carica elettrica degli elettroni. Il successo di queste teorie ha portato all'elaborazione di altre modellate sull'elettrodinamica q. nella quale le prime due sono trattate unitariamente: le Teorie di Grande Unificazione.

LA RICERCA NEGLI ANNI NOVANTA

L’evento più importante degli anni Novanta nella fisica dei q. è stata l’individuazione del q. top o alto. Il q. top è stato scoperto al Fermi National Accelerator (Illinois, U.S.A.) da due gruppi di 450 fisici ciascuno, partecipanti agli esperimenti C.D.F. (Collider Detector at Fermilab) e D-Zero, che hanno utilizzato il collisionatore di protoni e antiprotoni Tevatron, il più potente attualmente al mondo nella sua categoria, dotato di una energia di 1800 GeV. La scoperta è stata annunciata ufficialmente il 2 marzo 1995. Agli esperimenti C.D.F. hanno contribuito in larga misura i ricercatori italiani dell’Istituto nazionale di fisica nucleare (I.N.F.N.). La massa del q. top è stata misurata in 174 GeV, con una incertezza di 17 GeV, che rende il q. top pesante come un nucleo di oro, diventando così la particella di gran lunga più pesante osservata finora. La ricerca del q. top è consistita nell’analizzare le collisioni protone-antiprotone, che producono un q. top e un antiquark top, i quali decadono quasi immediatamente nel loro q. comno di coppia, il q. bottom, e in un bosone W, portatore della forza nucleare debole (il q. top decade in un q. bottom e in un W1, l’antiquark alto decade in un antiquark basso e in un W2). Anche il bosone W decade rapidamente in una coppia di leptoni, p. es. in un muone e in un neutrino, o in una coppia di altri q., come un q. up (su) e un antiquark down (giù). Ciascun q. nello stato finale si manifesta come un getto collimato di particelle (jet) nel rivelatore. Gli sperimentatori del Fermilab hanno cercato il q. top in tre modi. Nel primo, sono stati cercati eventi nei quali i W provenienti dal q. top e dall’antiquark top sono decaduti in una coppia di leptoni (elettrone e neutrino elettronico, muone e neutrino muonico). Gli altri due metodi hanno cercato eventi nei quali uno dei due bosoni W era decaduto in un elettrone e in un neutrino elettronico, o in un muone e un neutrino muonico, mentre l’altro W era decaduto in una coppia di quark. Il q. top quindi non è stato “visto” direttamente, ma è stata “vista” la sua “traccia” attraverso le particelle in cui è decaduto. Gli esperimenti C.D.F. hanno osservato in tutto 54 eventi corrispondenti alla traccia di un q. top, di cui 28 imputabili al rumore di fondo. D-Zero ha osservato 37 eventi, 13 dei quali imputabili al rumore di fondo. Complessivamente ogni esperimento ha creato all’incirca da 500 a 600 coppie q. top-antiquark top, di cui soltanto una ventina sono state individuate. I risultati dei due esperimenti sono comunque in perfetto accordo. La massa del q. top è stata determinata sempre da entrambi gli esperimenti. Calcolando l’energia e la direzione dei prodotti della reazioni (leptoni, neutrini e jets), l’esperimento D-Zero è risalito a una massa per il q. top pari a 169  + 11 GeV, mentre C.D.F. ha calcolato la massa in 178 + 7 GeV. Compiendo la media di tali misure la massa del q. top è stata determinata in 174 GeV. Si tratta di una massa circa 40 volte più grande di quella del q. bottom (4,25 GeV) e di due volte più grande di quella dei bosoni W+ e W- (80,2 GeV). La scoperta del q. top ripropone il problema dell’acquisizione della massa da parte delle particelle. Restano infatti da spiegare i motivi per cui il q. top abbia una massa 40 volte superiore a quella del più pesante fra gli altri q., il bottom.







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