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Le Due teorie emblematiche della fisica moderna



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Le Due teorie emblematiche della fisica moderna

L'equazione d'onda di Schoringer:

E' noto che particelle materiali esibiscono proprietà di onde. La lunghezza d'onda connessa con una particella è associabile al suo momento p, cioè al prodotto massa*velocità (p=mu), ed è espressa dalla relazione:

l = h/p

E' comprensibile che un discorso del genere possa lasciare disorientati. Come può un elettrone (o un fotone) essere contemporaneamente sia un'onda che una particella? Il fatto è che probabilmente essi non sono nessuna delle due cose. Semplicemente si comportano come onde in determinate condizioni e come particelle in altre. La cosa importante è però che il loro comportamento può in ogni caso essere descritto in termini di una funzione d'onda y . Ragionare in termini di funzioni d'onda è dunque il modo più soddisfacente per descrivere sistemi di questo tipo.

Vediamo di cosa si tratta.



Scriviamo l'equazione di un'onda armonica che si proa in direzione degli x positivi con velocità u. Essa, nel punto x e al tempo t, è data da:

y (x,t) = Aexp[ -+ 2p ik (x-ut)]

considerando exp(ix) = cosx + isenx

Si può facilmente verificare che un'onda di questo genere è periodica nel tempo (con periodo T=1/ku) e nello spazio (con periodo l =1/k). Cioè aumentando t di T o x di l sia y che le sue derivate rimangono invariate. Inoltre, dato che l'esponenziale, in valore assoluto, non può mai superare il valore di 1, l'oscillazione avviene al massimo tra +A e -A. Il paramento A è dunque l'ampiezza dell'onda.

Importante è anche il teorema di Fourier. Esso dice che un'onda di una determinata frequenza può essere ricostruita dalla combinazione di un pacchetto di onde a frequenza variabile e di adatta ampiezza

y (x,t) = A(k)exp[+- 2p ik(x-ut)] dk

In generale per rappresentare una particella in movimento sarà necessario costruire un'onda localizzata. Un tale tipo di onda può essere costruito scegliendo opportunamente il pacchetto d'onde in modo che esse interferiscano costruttivamente in un punto e distruttivamente in tutti gli altri. Il pacchetto d'onde in questione sarà caratterizzato da un range molto stretto di numeri d'onda, e quindi può essere virtualmente omogeneo in frequenza.

Supponiamo ora che un elettrone libero che viaggia in direzione degli x positivi con momento p=mu ed energia cinetica

E= ½ mu = p2/2m

sia rappresentato dalla funzione

y (x,t) = exp[2p ik (x-ut)]

Operando le opportune sostituzioni ed essendo

ht = h/2p

si può arrivare a verificare che la funzione d'onda y descritta sopra è soluzione dell'equazione differenziale

d y ht2 d y

iht ----- = - ------ * ------

d t 2m d x2

Questa è l'equazione di Schoringer per un elettrone libero che si muove in uno spazio monodimensionale. L'estensione al caso tridimensionale è immediata se si esprime l'energia come

E = 1/2m (px2 + py2 + pz2)

d y d y d y d y ht2

iht ----- = -( ------ + ------ + -------) * ( -----)

d t d x2 d y 2 d z2 2m

o, con la più usuale simbologia

d y ht2

iht ----- = ( -----) V2y

d t 2m

Fin qui abbiamo parlato di una particella libera.

Diverso è però il caso di una particella che si muove sotto l'influenza di un campo esterno. Nell'energia sarà necessario introdurre un termine energia potenziale assunto dipendente solo dalle coordinate. Si avrà dunque che:

E = 1/2m (px2 + py2 + pz2) + V(x,z,y)

e quindi

d y ht2

iht ----- = ( -----) V2y + Vy

d t 2m

Se a questo punto definiamo un operatore H come

ht2

H = - ( ----- ) V2 + V

2m

possiamo scrivere che

d y

iht ----- = Hy



d t

In pratica l'operatore H è un operatore che, applicato ad una generica y , ne restituisce una derivata seconda alle coordinate spaziali sommata del valore di y stessa moltiplicata per il potenziale.

Questa è l'equazione di Schoringer dipendente dal tempo per una particella di energia potenziale V(x,y,z) che si muove tridimensionalmente. Tale equazione, così costruita, ha la caratteristica di essere lineare; cioè se ammette una soluzione y ammette anche una soluzione cy , ove c è una costante arbitraria diversa da zero.

Inoltre la funzione |y |2 ha la caratteristica di rappresentare la probabilità di trovare la particella in un determinato elemento di volume dxdydz al tempo t. Dato che la probabilità di trovare la particella in qualsiasi parte dello spazio al tempo t deve essere unitaria, è necessario che l'integrale di |y |2 su tutto lo spazio dia 1. Una funzione y che corrisponda a questa caratteristica si dice normalizzata.

Poiché le soluzione dell'equazione di Schoringer siano utilizzabili ai fini di una rappresentazione atomica è necessario che esse siano normalizzabili, continue ed a valore singolo. Soluzioni di questo tipo sono ottenibili solo in corrispondenza di determinati valori di E, ciascuno dei quali rappresenta l'energia complessiva del sistema in una determinata conurazione. Detta in altri termini, si può quindi affermare che per ciascun livello di E l'operatore H è quell'operatore che fornisce una serie di soluzioni che rappresentano la popolazione elettronica corrispondente a quella energia.

Per concludere bisogna tuttavia dire che nella pratica una soluzione dell'equazione di Schrodinger è possibile solo in casi semplici, mentre nella maggior parte dei casi si fa ricorso a soluzioni che sono frutto di innumerevoli compromessi e semplificazioni. Solo col continuo progredire degli strumenti di calcolo sarà possibile estendere la risoluzione rigorosa a casi sempre più complessi.

La formulazione del Principio di Indeterminazione di W. Heisenberg

L'idea di tali limitazione fu proposta nel 1927 da Werner Heisenberg, uno dei fondatori della meccanica quantistica. La relazione di indeterminazione di Heisenberg per le componenti della posizione e della quantità di moto x e p è

D x*D p ½

con = h/2p

Il prodotto delle incertezze x p ha dunque un limite inferiore in ½ . Se la posizione di un elettrone è determinata a meno di una piccola distanza, e quindi x è molto piccola, la corrispondente incertezza della quantità di moto p ½ x sarà grande.

Viceversa, se p è piccola, x ½ p e c'è una grande incertezza nella posizione. Pertanto non è possibile che sia x sia p siano arbitrariamente piccolo.

Naturalmente ci sono delle difficoltà di carattere tecnico per misurare con precisione la posizione e la quantità di moto di una particella con un fotone o un elettrone. Ma anche se si usano i migliori strumenti disponibile, la limitazione imposta a x p dalla relazione di Heisenberg rimane.

Questo limite è da accettare come principio. E' indipendente dai particolari di qualunque apparecchiatura o di qualunque procedimento di misura. Esso non può essere superato da alcun progresso o da alcuna innovazione tecnologica.

Per una particella classica abbiamo ammesso che x e p possano essere simultaneamente nulle, così che il prodotto x p può anche essere 0. Ma la relazione di indeterminazione di Heisenberg stabilisce che il prodotto deve essere almeno pari a ½ e non può essere 0. Quindi il concetto di particella classica ha una validità limitata. Siccome ½ è una quantità piccola, la relazione di indeterminazione di Heisenberg non impone praticamente alcuna restrizione ad un corpo macroscopico. Nell'ambito atomico e subatomico, però, il concetto di particella classica deve essere abbandonato.







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