CALCOLO DELL'AFFIDABILITÀ DEI SISTEMI: ANALISI STATICA

CAPITOLO V

CALCOLO DELL'AFFIDABILITÀ DEI SISTEMI: ANALISI STATICA

5.1 INTRODUZIONE

Generalità sulla affidabilità dei sistemi

In questo modulo si affronta lo studio dell'affidabilità sistemi formati da due o più componenti, fisicamente o logicamente connessi.

Spesso è difficile calcolare - o stimare - direttamente l'affidabilità del sistema, specie se questo è abbastanza complesso, mentre tale calcolo si semplifica se si suddivide il sistema nei suoi componenti (ovvero in opportuni "sottosistemi") dei quali è più semplice conoscere il valore dell'affidabilità, oppure più agevole il calcolo.

Lo scopo del Calcolo (o Analisi) dell'affidabilità di un sistema è appunto quello di individuare procedimenti che, a partire dall'affidabilità dei singoli componenti e da come tali componenti sono interconnessi, permettano di ricavare l'affidabilità del sistema da essi costituito. Come di solito, si considerano componenti (e sistemi) di tipi "binario", per i quali cioè si considerano solo due possibili stati di funzionamento, ossia lo stato di "buon funzionamento" e quello di "guasto".

Si suppone dunque di conoscere:

i) la struttura del sistema, ed in particolare lo stato di funzionamento del sistema in corrispondenza di ogni stato di funzionamento dei singoli componenti;

ii) l'affidabilità di ogni singolo componente (o più in generale, l'affidabilità "congiunta" dei componenti, nel caso in cui questi non siano statisticamente indipendenti).

Il calcolo dell'affidabilità del sistema consiste nel calcolo della probabilità che il sistema funzioni (oppure sia guasto), in funzione delle analoghe probabilità dei singoli componenti, supposte note o calcolabili.

Qui si intende per "componente" una qualsiasi parte del sistema di cui si conosca - o si supponga di conoscere - l'affidabilità. E' opportuno ricordare che l'affidabilità di un componente non sempre è un dato di semplice calcolo; in genere, esso viene ricavato da estrapolazioni statistiche di dati dal campo, o da prove di laboratorio effettuate su di un lotto di componenti supposti identici: esso viene spesso fornito dal costruttore insieme alle specifiche di funzionamento. Qui esso viene supposto - come spesso accade nella pratica ingegneristica - essere un dato del problema, senza preoccuparsi di come sia stato ottenuto: ciò attiene infatti alla Statistica, più che al Calcolo delle Probabilità; allo stesso modo, ad esempio, un ingegnere calcola la "resistenza equivalente" di un dato circuito elettrico, assumendo noti i valori delle resistenze dei singoli rami del circuito, anche se non li ha misurati lui, e magari anche se non ne conosce il valore numerico.

E' chiaro che, a seconda della struttura più o meno complessa del sistema, del grado di dipendenza tra i guasti dei singoli componenti, delle strategie di manutenzione, il calcolo dell'affidabilità di un sistema può risultare di difficile attuazione, e rappresenta un compromesso tra complessità e accuratezza di risultato.

In questo modulo si esamina in particolare l'analisi statica dell'affidabilità, ossia non si considera la dipendenza temporale dell'affidabilità. Come anticipato, infatti, e come sarà chiarito nel modulo successivo, l'affidabilità di un dispositivo (componente o sistema) dipende dall'intervallo di tempo t considerato. Essa è generalmente indicata mediante il simbolo R(t) = probabilità di buon funzionamento del dispositivo nell'intervallo (0,t), ipotizzando che il dispositivo inizi a funzionare nell'istante t = 0. Al variare di t, R(t) rappresenta una funzione temporale definita su (o, ), e a valori in (0,1). Qui si considera (implicitamente) un fissato intervallo temporale, t*, di funzionamento, cosicché l'affidabilità del dispositivo è espressa da un unico numero: r = R(t*).

5.1.2 Simbologia e definizioni.

Nel seguito si considererà un sistema costituito, nel caso generale, da n componenti, il generico (j-simo) dei quali è indicato con lettera minuscola c_j (j = 1, .., n), o a volte semplicemente con l'indice j; il sistema viene indicato con la lettera s; si definiscono inoltre, con lettera maiuscola, gli eventi aleatori:

C_j=; = (j = 1, . .,n)

S=; =

e le rispettive probabilità:

r_j = P(C_j) = affidabilità del componente j (talvolta indicata con p_j);

= inaffidabilità del componente j (talvolta indicata con q_j);

R=P(S) = affidabilità del sistema; F=P() = 1- R = inaffidabilità del sistema

Per quanto detto in precedenza, l'analisi di affidabilità del sistema consiste nell'esprimere R in funzione delle affidabilità r_j dei componenti, e anche delle affidabilità congiunte nel caso di componenti non indipendenti. Introduciamo qui la definizione - intuitiva - di indipendenza dei componenti sufficiente per l'analisi statica (una definizione più generale, che fa riferimento alle v.a. "tempi di funzionamento" dei componenti, verrà data nel modulo sulla analisi dinamica):

Definizione Due componenti a e b, sono definiti "statisticamente indipendenti" (o, per brevità, "indipendenti") se i rispettivi eventi di buon funzionamento, A e B sono (per ogni intervallo di tempo considerato) statisticamente indipendenti, ossia se:

P(A B)= P(A)P(B), oppure P(A|B) = P(A), oppure P(B|A) = P(B) 1)

Come noto, le 3 relazioni della 1) sono equivalenti: la prima è però più generale perché utilizzabile anche per eventi di probabilità nulla. E' inoltre noto che, se A e B sono indipendenti, anche gli eventi complementari lo sono (e viceversa). Dunque, se a e b sono indipendenti, l'evento "buon funzionamento" di a non dipende (statisticamente) dall'evento "buon funzionamento" di b, ma anche - come logico - l'evento "guasto di a" non dipende dall'evento "guasto di b" (né dall'evento "buon funzionamento" di b).

Analogamente, n componenti (c₁,..,c_n) sono definiti "statisticamente indipendenti" se i rispettivi eventi di buon funzionamento (C₁,..,C_n), sono statisticamente indipendenti. Ad esempio, 3 componenti (a,b,c) sono indipendenti se si verificano le seguenti 4 eguaglianze:

P(A B)= P(A)P(B);   P(A C)= P(A)P(C);   P(B C)= P(B)P(C);   P(A B C)= P(A)P(B)P(C)   2)

E' opportuno sottolineare che, in base a tale definizione, non è corretto (come talvolta si dice):

i) definire "a e b indipendenti se il funzionamento di a non dipende da quello di b" (questo sarebbe un ragionamento "deterministico", peraltro di difficile verifica pratica);

ii) definire "a e b indipendenti se la probabilità di buon funzionamento di a non dipende dalla probabilità di buon funzionamento di b" (questa sarebbe una definizione senza senso: l'indipendenza è una proprietà definita tra eventi, non tra probabilità, che sono numeri!).

E' invece corretto definirli (statisticamente) indipendenti se:

in) la probabilità di buon funzionamento di a non dipende (matematicamente) dallo stato di b (e viceversa: le due cose sono equivalenti), che è appunto la "traduzione concettuale" della relazione P(A|B)= P(A). In altri termini, il fatto che b funzioni non altera le nostre informazioni circa la probabilità di buon funzionamento di a.

E' chiaro che però, da un punto di vista pratico, spesso - in mancanza di informazioni sul funzionamento congiunto  dei due componenti (ciò richiederebbe una gran mole di dati) - la indipendenza viene assunta come ipotesi (magari come ipotesi di lavoro), se si assume vera l'affermazione i) sarà ragionevole ritenere valida l'ipotesi di indipendenza statistica.

Ad esempio, se si considerano due resistenze in parallelo, e si presume che il guasto sia tanto più probabile quanto maggiore è il valore di corrente su di esse (p. es. perché aumenta la probabilità di fusione del conduttore, determinando un "circuito aperto"), è chiaro che - se una delle due resistenze, a, si guasta, sull'altra, b, la corrente aumenterà e quindi aumenterà la probabilità di guasto (rispetto al caso in cui non conoscevamo lo stato di funzionamento di b): in tal caso, non sarà opportuno assumere l'indipendenza statistica. Ma, se i rami del circuito sono molto "lontani", e si vede - ciò andrebbe fatto mediante appositi calcoli - che lo stato di una resistenza non varia di molto il valore di corrente sull'altra, sarà possibile - almeno in prima approssimazione - considerare valida l'ipotesi di indipendenza statistica (anche se, a rigore, in un sistema elettrico, gli stati di funzionamento di due componenti non sono mai fisicamente indipendenti).

Se i componenti sono indipendenti, l'affidabilità del sistema - come si vedrà - si può esprimere in funzione delle affidabilità dei singoli componenti:

R= F(r₁, r₂, , r_n)

La funzione F è detta funzione (statica) di affidabilità strutturale: essa assume, naturalmente, valori in (0,1), e - per la gran parte dei sistemi - gode delle seguenti, intuitive, proprietà:

F

F

.

La proprietà 1) afferma che, se i componenti sono tutti guasti (con probabilità 1, ossia "quasi certamente", q.c.), allora anche il sistema è q.c. guasto, naturalmente. La proprietà 2) afferma che, se i componenti sono tutti funzionanti q.c., allora anche il sistema è q.c. funzionante. La proprietà 3) afferma che, aumentando l'affidabilità di un qualsiasi componente, anche l'affidabilità del sistema aumenta.

Tali proprietà appaiono abbastanza ovvie, però vi possono essere alcuni sistemi particolari (magari progettati ..male), che non considereremo, che non le rispettano. I sistemi per i quali tali proprietà sono valide sono detti "coerenti".

E' chiaro come l'analisi di affidabilità di un sistema qui descritta sia di grande importanza sia in fase di previsione che di progetto:

in fase di previsione, essa consente di valutare l'affidabilità del sistema in funzione dell'affidabilità dei componenti, senza effettuare delle prove statistiche direttamente sul sistema, cosa che sarebbe spesso troppo costosa in termini economici e/o di tempo, o addirittura rischiosa (si pensi alla valutazione di affidabilità di una centrale nucleare); soprattutto, essa consente di calcolare l'affidabilità del sistema prima che esso sia messo in opera, in modo da poter valutare tempestivamente eventuali modifiche in sede di progetto (vedi punto successivo) nel caso in cui tale affidabilità risulti insufficiente;

in fase di progetto, la conoscenza del legame analitico tra affidabilità del sistema e affidabilità dei componenti consente di scegliere razionalmente la conurazione ottimale del sistema tra le possibili alternative disponibili; ad esempio, attraverso la funzione di affidabilità strutturale si può determinare quale sia il miglioramento di affidabilità del sistema ottenibile da un miglioramento di affidabilità di ogni singolo componente, e dunque quale componente convenga migliorare - o sostituire - al fine di ottenere il massimo aumento di affidabilità ( a parità di costi); ovvero decidere se e quanti componenti inserire "in parallelo" a quelli dati al fine di ottenere un dato valore di affidabilità (determinato in sede di specifiche, a volte su base contrattuale o normativa).

Quest'ultimo punto illustra come l'analisi di affidabilità sia strettamente collegata alla sintesi di affidabilità, ovvero alla scelta del valore ottimale di affidabilità da realizzare per il sistema in funzione di vincoli di natura tecnica (determinati dalle specifiche tecniche cui il sistema deve soddisfare), economica (determinati dai costi di eventuali guasti), ambientale (determinati dai danni ambientali conseguenti ai guasti, o derivanti dall'utilizzo di particolari componenti), ecc.

Nel caso in cui si voglia valutare l'evoluzione temporale dell'affidabilità del sistema, è necessario conoscere le funzioni affidabilità, R_j(t), dei singoli componenti in funzione del tempo: ciò è argomento della analisi dinamica dell'affidabilità dei sistemi, oggetto di un altro modulo. Essa rappresenta una estensione relativamente semplice delle tecniche che qui si esaminano.

5.2 RAPPRESENTAZIONE AFFIDABILISTICA DEI SISTEMI: GENERALITÀ SUI SISTEMI SERIE E PARALLELO

Nel seguito verranno analizzate le strutture affidabilistiche elementari dei sistemi, ovvero le strutture:

- serie

- parallelo

- serie/parallelo

- parallelo parziale

con esemplificazioni nell'ambito dei sistemi elettrici. Si ritiene comunque opportuno di ritornare sulla definizione di sistemi serie e parallelo (anticipata nel cap. 2), allo scopo di illustrare l'aspetto concettuale e le caratteristiche salienti della rappresentazione affidabilistica di un sistema. Tali tipi di sistemi verranno analizzati più in dettaglio nei prossimi paragrafi.

Sistemi serie

Si consideri un sistema costituito da n componenti; i componenti si dicono, dal punto di vista dell'affidabilità del sistema, "collegati in serie" - oppure il sistema si dice "serie" - se il sistema funziona se e solo se funzionano tutti i suoi componenti (si noti che non basta dire "se funzionano tutti i componenti": infatti normalmente, come si vedrà, tutti i sistemi - e non solo quelli serie - funzionano quando funzionano tutti i componenti, come ovvio!). Ad esempio, un sistema di produzione dell'energia elettrica costituito da una turbina e un alternatore funziona solo se entrambi i componenti sono funzionanti. Si consideri ancora un semplice circuito elettrico costituito da due interruttori elettricamente in serie: se lo scopo del sistema è quello di chiudere il circuito in un dato istante, i due interruttori sono in "serie" anche dal punto di vista dell'affidabilità. Se invece il circuito va aperto, è sufficiente che almeno uno dei due interruttori funzioni (ossia si apra quando richiesto): in tal caso, pur essendo in serie fisicamente, i due componenti non sono in serie dal punto di vista dell'affidabilità (si dice - come si vedrà - che sono "in parallelo").

La rappresentazione grafica di un sistema serie è quella in ura, ottenuta collegando "in serie" i blocchi, detti anche rami, corrispondenti ai singoli componenti: il collegamento ingresso-uscita del sistema a blocchi è infatti assicurato solo se tutti i blocchi del sistema funzionano; si pensi ad un segnale elettrico che, partendo dal nodo iniziale di sinistra, debba raggiungere quello terminale a destra: il generico componente è funzionante se il blocco relativo lascia passare il segnale, è guasto se il blocco è un "circuito aperto".

Dualmente, il sistema si guasta non appena si guasta un componente: graficamente, quando il blocco corrispondente a tale componente viene "aperto", non vi è più collegamento tra ingresso e uscita. Si sottolinea che la rappresentazione affidabilistica non dipende dall'affidabilità dei componenti! (cioè: dipende da come sono connessi fisicamente i componenti e dalla missione del sistema, qualunque sia l'affidabilità dei componenti).

Sistemi parallelo

Un sistema si dice parallelo quando funziona se almeno uno dei suoi componenti funziona. Un esempio l'abbiamo già considerato, quello dei due interruttori in serie che debbono aprire il ramo su cui sono inseriti. Dualmente, due interruttori elettricamente in parallelo che debbono chiudere il ramo sono affidabilisticamente in parallelo. Un altro esempio è costituito da due linee elettriche in parallelo, allo scopo di alimentare un dato nodo di carico in un certo istante t*:

se la capacità di trasporto delle linee è pari alla potenza richiesta dal carico in t*, le linee sono effettivamente in parallelo affidabilistico (ammesso che sia disponibile l'adeguata potenza da parte del sistema di generazione);

se la capacità di trasporto delle linee è pari alla metà potenza richiesta dal carico in t*, le linee, pur essendo in parallelo "elettrico", sono collegate in serie dal punto di vista affidabilistico (ammesso che sia disponibile l'adeguata potenza da parte del sistema di generazione).

La rappresentazione a blocchi del sistema parallelo è come nella . seguente: i diversi componenti sono rappresentati da rami collegati fisicamente in parallelo;

Dualmente, il sistema si guasta se - e solo se! - si guastano tutti i componenti.

Dal punto di vista della analogia con la trasmissione di un segnale elettrico, perché sia assicurato il collegamento ingresso-uscita è sufficiente che almeno un ramo sia funzionante.

Il sistema parallelo è un esempio di sistema "ridondante", in quanto, se tutti i componenti funzionano, ve ne sono n-l che sono effettivamente ridondanti, cioè non necessari ai fini del funzionamento del sistema. Naturalmente, la conurazione parallelo viene progettata per aumentare l'affidabilità del sistema, considerando la possibilità, sempre presente, di guasti dei componenti. Teoricamente, aumentando indefinitamente il numero di componenti in parallelo, si può giungere - come intuitivo e come sarà analizzato più avanti - ad un sistema di affidabilità arbitrariamente prossima ad 1: ciò naturalmente comporterà dei costi elevati; questo ragionamento esemplifica come la conurazione ottimale di un sistema dovrà essere necessariamente ottenuta da un compromesso tra elevata affidabilità e costi contenuti (due esigenze in contrasto tra di loro).

Naturalmente, è ovvio notare - come accennato in precedenza - che un sistema parallelo funziona se funzionano tutti i suoi componenti: solo che questa condizione, a differenza che nel caso serie, non è necessaria al funzionamento del sistema, ma solo sufficiente (come del resto accade per tutti i sistemi); nel caso serie, come già detto, è invece necessaria e sufficiente.

5.2.3 Considerazioni sulla rappresentazione affidabilistica dei sistemi

Come visto nei casi serie e parallelo, la rappresentazione utilizzata ai fini della analisi (e poi del calcolo) dell'affidabilità di un sistema è quella basata sui grafi. Essa è una rappresentazione funzionale degli elementi, in cui ad ogni elemento si fa corrispondere un ramo orientato di un grafo, a cui è associata la probabilità r_j = P(C_j) di funzionamento del componente. Il sistema è funzionante se esiste un percorso formato da un sottoinsieme di rami (percorsi una sola volta nel verso prefissato), il quale conduca il segnale dal nodo di "ingresso" a quello di "uscita". La combinazione funzionale dei vari rami nel cammino ingresso uscita, consente di esprimere la probabilità associata all'evento finale, attraverso le probabilità dei singoli eventi.

L'analogia con la trasmissione di un "segnale" elettrico permette di ritrovare alcune proprietà ben note dell'Elettrotecnica: considerando che un componente che funziona certamente (e quindi con affidabilità=1) viene naturalmente rappresentato da un "corto circuito", un componente certamente guasto (e quindi con affidabilità = 0) viene rappresentato con un "circuito aperto", è facile vedere che:

il "parallelo" tra un componente in "corto circuito" (ossia certamente funzionante) e un altro componente equivale ad un sistema in "corto circuito";

la "serie" tra un componente " aperto" (ossia certamente guasto) e un altro componente equivale ad un sistema "aperto ", ecc.

Consideriamo un altro esempio elettrico, ossia un circuito costituito da due resistenze in parallelo tra due nodi a e b;

i) se il guasto del circuito è definito come corto circuito (c.c.) tra a e b, e se le resistenze si possono guastare solo per corto circuito, allora le due resistenze sono in serie (basta che se ne guasti una per c.c. per avere il c.c. del "sistema");

ii) se il guasto del circuito è definito invece come circuito aperto (c.a.) tra a e b, e se le resistenze si possono guastare solo per circuito aperto, le due resistenze sono in parallelo (debbono guastarsi entrambe per determinare il guasto del circuito).

Questo, come gli esempi precedenti degli interruttori e delle linee elettriche, mostra che:

- non necessariamente lo schema affidabilistico coincide con quello fisico;

- ad uno stesso sistema fisico, possono corrispondere più schemi affidabilistici,

Lo schema affidabilistico può infatti variare a seconda della funzione richiesta al sistema; nell'esempio degli interruttori, se viene richiesta l'apertura anziché la chiusura del sistema, cambia la rappresentazione affidabilistica del sistema, pur rimanendo invariato il sistema fisico!

- è necessario non solo definire accuratamente quale sia la funzione richiesta al sistema (ovvero: quando il sistema è da considerarsi "ben funzionante"), ma anche la definizione di buon funzionamento (ovvero di guasto) dei componenti. Per esempio, nel caso i) sopra esemplificato, se le resistenze si possono guastare solo per circuito aperto, il sistema non si guasterà mai (ovvero sarà rappresentabile come un sistema serie con due blocchi entrambi in "corto circuito"); ciò vale se - come ipotizzato - si definisce come guasto del sistema il suo c.c.: se si considera anche il c.a. come stato di guasto del sistema, la probabilità di guasto del sistema sarà calcolabile come probabilità dell'unione dei due eventi: "Guasto per c.c." e "Guasto per c.a.". In quest'ultimo caso, il sistema non ammette una rappresentazione elementare come sistema serie o parallelo, ma sarà risolubile mediante una decomposizione di sistemi serie e parallelo.

La funzione richiesta al sistema viene definita in sede di progetto: essa però può presentare talvolta degli aspetti "soggettivi", ossia dipendenti dalla persona che giudica l'affidabilità del sistema. Ad esempio, qualsiasi sistema può essere considerato di tipo serie se si è così "pignoli" da richiedere il buon funzionamento di tutti i componenti: si pensi ad una persona che consideri un'automobile "guasta" anche nel caso in cui si guasti un tergicristallo (in tali considerazioni entreranno in gioco considerazioni pratiche, ad esempio la disponibilità di ricambi, la presenza di pioggia, ecc.).

Più "oggettivamente", se vogliamo che il sistema non richieda in un dato intervallo alcun intervento di riparazione (p.es. di notte, se non è disponibile una squadra di riparazione), allora è chiaro che il sistema sarà da considerarsi di tipo serie, indipendentemente sia dalla sua conurazione fisica che da quella affidabilistica effettiva ai fini della funzione richiesta.

Consideriamo, ad esempio, un sistema costituito da un generatore da 120 MW, a, connesso ad un nodo da cui si dipartono due linee in parallelo, b e c; ciascuna linea alimenta un diverso nodo di carico, che richiede una potenza pari 50 MW.

Si ipotizza che entrambe le linee abbiano capacità almeno pari a 50 MW. Inoltre gli unici elementi suscettibili di guastarsi sono supposti essere a, b e c: questa è evidentemente una schematizzazione semplificativa che non toglie generalità all'esempio: se, p.es, si vuol considerare anche il funzionamento del trasformatore posto tra generatore e nodo, si considera evidentemente un "sottosistema" serie, costituito da generatore + trasformatore, in luogo del semplice generatore. Tale sottosistema serie è comunque equivalente ad un singolo componente di affidabilità pari a quella del sottosistema, come ovvio, e come sarà esemplificato più avanti (ciò mostra come i "componenti" del sistema possano essere scelti nella maniera più opportuna).

Se, come naturale, è necessario che entrambi i carichi siano alimentati, allora è chiaro che i tre componenti sono in serie tra di loro, dal punto di vista dell'affidabilità. Naturalmente, c'è differenza tra la disalimentazione di un solo carico (guasto "parziale", che accade quando si guasta una sola linea), e quella di entrambi i carichi (guasto "totale", che accade quando si guastano entrambe le linee, oppure il generatore). Perciò ha senso chiedersi anche quale sia l'affidabilità del sistema rispetto alla alimentazione di almeno un carico (anche se, si badi bene, il sistema è evidentemente progettato e costruito per alimentare entrambi i carichi): in altri termini, come cambia l'affidabilità del sistema se ci accontentiamo della alimentazione di anche un solo carico? E' chiaro che in tal caso deve funzionare il generatore, e almeno una delle due linee. Perciò la struttura affidabilistica del sistema sarà costituita dalla serie del generatore con il "sottosistema" di trasmissione, formato dal parallelo affidabilistico delle due linee: la struttura ricalca dunque, solo in questo caso, quella elettrica. Se, ancora, vogliamo che in un determinato intervallo di tempo, nessun componente si guasti (ad. esempio perché in tale intervallo non è disponibile la squadra di riparazione), allora la struttura del sistema ritorna di tipo serie.

Da quanto detto segue anche che il progettista o l'analista del sistema ha dei margini di libertà nella definizione della "funzione del sistema", e quindi della sua struttura affidabilistica. Una volta determinata la funzione, è importante (cosa non sempre facile) che la struttura affidabilistica sia coerente con la funzione richiesta e la struttura logico-fisica del sistema. Una volta determinata la struttura affidabilistica, è poi importante che il calcolo dall'affidabilità venga effettuato utilizzando correttamente le regole del Calcolo delle probabilità. E' ciò di cui ci si occupa nei paragrafi successivi. Salvo avviso contrario, in essi si considereranno solo componenti indipendenti.