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Introduzione sul calcolo combinatorio - Disposizione semplice di n elementi in gruppi di k

Introduzione sul calcolo combinatorio - Disposizione semplice di n elementi in gruppi di k


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Appendice 2


Introduzione sul calcolo combinatorio


Disposizione semplice di n elementi in gruppi di k.

Si abbia un insieme costituito di n elementi tutti diversi tra loro. Il numero di sotto insiemi, costituiti ciascuno da k elementi distinti tra loro, e considerati diversi anche se costituiti dagli stessi elementi ma presi non nello stesso ordine, è dato da:


 


Consideriamo l’insieme costituito dai risultati del lancio di un dado


W





Quanti sotto insiemi possiamo costituire formati ciascuno da k=2 elementi diversi tra loro, distinti almeno per un elemento o per l’ordine?



Ciò deriva dal fissare ogni volta uno dei risultati e formare un gruppo con tutti gli altri; per ognuno degli elementi avremo 5 gruppi e pertanto per i 6 elementi 30 gruppi in totale.


1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2,1 2,3, 2,4 2,5 2,6

3,1 3,2 3,4 3,5 3,6

4,1 4,2 4,3 4,5 4,6

5,1 5,2 5,3 5,4 5,6

6,1 6,2 6,3 6,4 6,5


Se adesso volessimo formare gruppi di 3 elementi, basterà associare a ciascuno delle coppie precedenti l’elemento che non appartiene alla coppia; per ognuna delle 30 coppie (6-2)=4 gruppi diversi ottenendo



1,2,3 1,2,4 1,2,5 1,2,6

1,3,2 1,3,4 1,3,5 1,3,6

1,4,2 1,4,3 1,4,5 1,4,6


6,5,1 6,5,2 6,5,3 6,5,4



Disposizione con ripetizione di n elementi in gruppi di k.

c


Riprendendo l’esempio precedente, nel caso di gruppi di due, nel caso in cui si ammettano gruppi con lo stesso elemento ripetuto, ogni elemento viene combinato con tutti gli elementi del gruppo (compreso se stesso),e si hanno dunque




1 2 3 4 5 6


1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6

6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6


E proseguendo a formare gruppi di 3 si tratterà di unire a ciascuno dei gruppi precedenti uno dei sei elementi alla volta, ottenendo così 36*6 =363


I gruppi formati con le disposizioni semplici rappresentano il prodotto sectiunesiano dell’insieme di partenza W. Nel caso di k=2, se si riportano gli elementi del gruppo sui due assi sectiunesiani, i possibili gruppi sono i punti ottenuti dall’incrocio delle rette x=1, x=2, . , x=6; con le rette y=1, y=2, . , y=6




















Nel caso di k=3 si procede in maniera analoga, questa volta introducendo l’asse z.


Permutazione semplice di n elementi

Si abbia un insieme costituito di n elementi tutti diversi tra loro. Il numero di insiemi ottenibili scambiando in tutti i modi possibili gli elementi  tra loro, ovvero permutandoli, è dato dal numero di disposizioni semplici degli n elementi in gruppi contenenti n elementi:



Permutazione con ripetizione di n elementi

Se l’insieme di partenza è formato da elementi ripetuti, gruppi che differiscano per la diversa posizione di soli tali elementi saranno uguali tra loro. Pertanto se il gruppo di n elementi contiene k1, k2, . elementi uguali tra loro il numero diversi per posizione degli elemnti che li costituiscono sarà


Ad esempio se l’insieme è costituito dai segenti 3 elementi A,B,B. Il numero di gruppi ottenibili tramite permutazione sarà


Le disposizioni semplici in gruppi di due saranno:


A         AB AB

B         BA BB

B         BA BB


In gruppi di 3, ovvero le permutazioni


AB       ABB

AB       ABB

BA       BAB

BB       BBA

BA       BAB

BB       BBA


Ma non essendo possibile distinguere tra il primo e secondo B, i gruppi diversi saranno solo 3:


ABB, BAB, BBA


Ottenuti dividendo il numero di permutazioni semplici 6 per il numero di gruppi che si possono formare scambiano tra loro i due elementi uguali fra loro 2.


Combinazioni di n elementi in k gruppi

Si abbia un insieme costituito di n elementi tutti diversi tra loro. Il numero di sotto insiemi, costituiti ciascuno da k elementi tutti diversi tra loro, considerati diversi solo se costituiti da almeno di un elemento diverso, è dato dal numero di disposizioni semplici diviso per il numero di permutazioni degli elementi di ciascun sotto insieme di k elementi:



Nel nostro esempio il numero di combinazioni dei sei elementi in gruppi di 2 sarà data da:



ovvero sono i gruppi evidenziati in grassetto seguenti:




1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2,1 2,3, 2,4 2,5 2,6

3,1 3,2 3,4 3,5 3,6

4,1 4,2 4,3 4,5 4,6

5,1 5,2 5,3 5,4 5,6

6,1 6,2 6,3 6,4 6,5










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