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OFFERTA DI LAVORO - reddito non da lavoro - costo opportunità

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OFFERTA DI LAVORO

Supponiamo che consumatore e la marca" class="text">il consumatore abbia inizialmente un reddito monetario M, sia che lavori o no: potrebbe trattarsi di un reddito da investimenti, di donazioni familiari, o altro. Definiamo questo reddito come reddito non da lavoro.

Indichiamo con C la quantità consumata dal consumatore e con p il suo prezzo.       Se w indica il salario e L la quantità di lavoro offerta, il vincolo di bilancio sarà:

1



 


p * C = M + w * L

che significa che il valore di tutto ciò che il consumatore consuma deve essere uguale alla somma del suo reddito non da lavoro e del suo reddito da lavoro.

1

 


Text Box: 1Se spostiamo l'offerta di lavoro w * L dal membro di destra della          al membro di sinistra, otteniamo:

2

 


3

 
p * C - w * L = M.

2

 
Supponiamo, ora, che esista una quantità massima possibile di offerta di lavoro e indichiamola con`L. Sommando w *`L a ciascun membro della         e con le opportune trasformazioni, otteniamo:

p * C - w * L + w * `L = M + w * `L

4

 


p * C + w * (`L - L) = M + w * `L.

3

 
Indichiamo con`C = M/p Û p *`C = M la quantità di consumo disponibile per il consumatore se non lavorasse affatto, vale a dire, la sua dotazione di consumo. Allora la             diventa:

p * C + w * (`L - L) = p * `C + w *`L.

In questa equazione vi sono due variabili di scelta a sinistra e due variabili di dotazione a destra.

La variabile`L - L può essere interpretata come la quantità di «tempo libero», cioè del tempo durante il quale non si lavora.

1

 

4

 
La        è formalmente identica alla      , ma la sua interpretazione è molto più interessante.

Secondo questa equazione la somma del valore del consumo e del tempo libero deve essere uguale al valore della dotazione di consumo e della dotazione di tempo, quest'ultima valutata in base al salario del consumatore.

Il salario è, quindi, anche il prezzo del tempo libero, definito, proprio per questo motivo, dagli economisti come costo opportunità del tempo libero.

Il membro di destra del vincolo di bilancio viene definito, talvolta, reddito pieno o reddito implicito del consumatore, e rappresenta il valore di tutto ciò che il consumatore possiede, cioè la sua dotazione di beni di consumo, nel caso ne possieda, e la sua dotazione di tempo.

Distinguiamo dal reddito pieno, il reddito misurato del consumatore, che rappresenta semplicemente il reddito derivante dalla vendita di una parte del suo tempo.

4

 


5

 
Cerchiamo di rappresentare, ora, il vincolo di bilancio graficamente. Prendiamo la

e facciamo le opportune trasformazioni:

p * C + w * (`L - L) = p *`C + w *`L


p * C = p *`C + w * `L - w * (`L - L)

C = p/p *`C + w/p *`L - w/P *  (`L - L)

Text Box: C = (`C + w/p *`L) - w/p *  (`L - L)


                                                                                                    .

5

 
Se rappresentiamo sull'asse delle ordinate il consumo C e sull'asse delle ascisse il tempo libero `L - L, la            può essere rappresentata così:


                          Consumo

                         

            (`C + w/p *`L)

SCELTA

OTTIMA

 
                                                           

                                                                   E

                                 C

DOTAZIONE

 
                                                                                           H

                                `C


                                                                         S                       `L                   Tempo

Saggio al quale sul mercato verrà scambiato un bene con l'altro.

 
                                                     `L - L                    L                   -w/p         libero

TEMPO

LIBERO

 

LAVORO

 

Ore massime di tempo che l’individuo ha a disposizione per lavorare o per dedicare al tempo libero.

 


Il punto E rappresenta la scelta ottima e corrisponderà al punto di tangenza fra la curva di indifferenza e la retta di bilancio.

In  E cui la curva di indifferenza e la retta di bilancio hanno la stessa inclinazione, ovvero il SMS in valore assoluto, cioè il valore di consumo addizionale derivante dal lavorare un poco di più, è uguale a w/p, il salario reale, cioè la quantità di beni di consumo che può essere acquistato rinunciando ad un'ora di tempo libero.

Analiticamente esaminiamo il problema dell’equilibrio del consumatore-lavoratore applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Per semplicità poniamo M=0.

.

Si tratta di un problema di massimizzazione vincolata del tipo:

Max u(c, R)

tale che p  c+ w R = w `L

 


                                                                                                .

Scriviamo la Lagrangiana:

L = u(c, R)  + l * (w `L - p  c+ w R)

 


 

Calcoliamo le derivate rispetto c, R e l. Si ottengono, così, le condizioni del primo ordine:

1

 


L/R=0                         u(c, R)/R - l * w= 0

2

 


                     L/c=0                        u(c,R)/c - l * p= 0

3

 


                           L/l= 0                                  p  c+ w R = w `L

3

 




La condizione            (che si ottiene derivando L rispetto a l) rappresenta il vincolo.

2

 

1

 
Dividendo la             per la            , abbiamo:

u(c,R)/R/u(c,R)/c= w/p

 


                                                                                                         .

Quindi, in equilibrio il saggio marginale di sostituzione tra riposo e consumo deve essere uguale al salario reale.

statica ata dell'offerta di lavoro. Chiediamoci come varia l'offerta e la domanda di tempo libero se, per esempio, un consumatore vince alla lotteria e il suo reddito monetario aumenta considerevolmente.

Nella maggior parte dei casi l'offerta di lavoro diminuisce se il reddito monetario aumenta. In altre parole, il tempo libero è probabilmente un bene normale per la maggior parte delle persone: se aumenta il loro reddito monetario, esse scelgono di consumare quantità maggiori di tempo libero. Adotteremo, quindi, l'ipotesi che il tempo libero sia un bene normale.

Vediamo, ora, quali sono le implicazioni di questa ipotesi sulla variazione dell'offerta di lavoro di un consumatore al variare del salario.

Un aumento del salario produce diversi effetti: aumenta il reddito derivante dal lavoro e il tempo libero diventa più costoso.

Se il salario aumenta, anche il prezzo del tempo libero diventa più elevato, e questo comporta una diminuzione del suo consumo (effetto sostituzione).

Graficamente, avremo:


                           Consumo

             

                               C¢¢                        E²                              

                                


                                                        

                                 C¢                          E¢

                                                                           H

                                `C


                                       0                       L² L¢      `L                               Tempo

                                                                                                                            libero

Quindi, se il tempo libero è un bene normale, la curva di offerta di lavoro deve avere un'inclinazione positiva.

Ma ciò pone qualche problema: in primo luogo, non sembra accettabile, da un punto di vista intuitivo, che un aumento di salario si traduca sempre in un aumento dell'offerta di lavoro.

Se il salario diventa molto elevato, è probabile che un lavoratore decida di «spendere» il reddito addizionale consumando tempo libero.

Graficamente, avremo:

 


                           Consumo

             

                                C¢¢                       E²       E²¢                        

                                 


                                                        

                                 C¢                          E¢

                                                                           H

                              `C


                                       O                   L² L¢  L¢²`L                               Tempo

                                                                                                                               libero

Riassumendo possiamo dire che:

¨     L’individuo ha un certo numero di ore`L da poter dedicare al lavoro o al tempo libero.

¨     Inizialmente, ha un salario w¢. Egli decide di offrire una quantità di lavoro pari a       (`L - L¢) e di avere a disposizione una certa quantità di tempo libero pari alla distanza O L¢. Il suo punto di equilibrio è, infatti, rappresentato dal punto E¢. 

¨     Successivamente il salario aumenta in una certa misura (w¢¢ > w). Con un salario w¢¢ egli decide di dedicare più ore al lavoro (`L - L²) e meno al tempo libero (pari alla distanza OL²), che gli «costerebbe» troppo. In questo modo, egli può consumare di più (infatti, C¢¢ > C¢), come vediamo dal punto E².

¨     Se il salario continua ad aumentare (w²¢ > w¢¢ > w). Con un salario w²¢ egli decide di lavorare di meno (`L - L¢²) e di dedicare parecchie ore al tempo libero (pari alla distanza O L¢²). Tutto questo perché egli può, ad ogni modo:

¨     acquistare gli stessi beni di prima (rappresentati dal punto C¢¢);

¨     avere più tempo per sé;

¨     rinunciare al lavoro che, comunque, considera un «male».

Avremo, quindi, una curva di offerta di lavoro volta all'indietro:


OFFERTA

DI

LAVORO

 
                  w

Salario di

partecipazione


                                                                                      L


                          Consumo

                         


            (`C + w/p *`L)

                                                           

                                                               

                                

DOTAZIONE

 
                                                                                           H

                                `C


                                                                                                `L                   Tempo

Salario .di partecipazione, cioè il salario minimo necessario per indurre il lavoratore a lavorare

 
                                                     `                                                -(w/p)p         libero

TEMPO    _

LIBERO= L

 

LAVORO=0

 


La curva dell’offerta di lavoro rivolta all’indietro rappresenta una situazione in cui:

¨     a bassi livelli di salario, un aumento dello stesso fa diminuire la domanda di tempo libero e fa aumentare l’offerta di lavoro;

¨     ad alti livelli di salario, l’effetto reddito supera l’effetto sostituzione e un aumento ulteriore dello stesso fa diminuire l’offerta di lavoro.

¨     Esiste un salario minimo al di sotto del quale il lavoratore non è disposto a lavorare

Riassumendo:

                  L          E. S.                 w/P

w

                  L          E. R.                   R

                 
 
 

SCELTA INTERTEMPORALE

il vincolo di bilancio. Esaminiamo, in questo caso, il comportamento del consumatore analizzando le sue scelte relative al risparmio e al consumo nel tempo. Queste scelte vengono dette scelte intertemporali.

Supponiamo che un consumatore scelga la quantità di un bene da consumare in due diversi periodi di tempo. Indichiamo con (c1; c2) il consumo di ciascun periodo e supponiamo che i prezzi in ciascun periodo rimangano costanti a 1. La quantità di moneta di cui il consumatore dispone in ciascun periodo è indicata con (m1; m2).

Supponiamo, inizialmente, che l'unico modo in cui un consumatore può trasferire moneta dal periodo 1 al periodo 2 sia risparmiarla senza interessi. Supponiamo, inoltre, per il momento, che non abbia nessuna possibilità di prendere denaro a prestito, così che nel periodo 1 possa spendere al massimo m1.

Vediamo che sono possibili due tipi di scelte: il consumatore può scegliere di consumare in corrispondenza di (m1; m2), cioè consumare interamente il suo reddito di ciascun periodo, oppure può scegliere di non consumare per intero il suo reddito nel periodo 1. In quest'ultimo caso, il consumatore risparmia una parte del suo consumo del periodo 1 per un periodo successivo.

Supponiamo, ora, che il consumatore possa dare e prendere a prestito denaro ad un tasso di interesse r. Deriviamo il vincolo di bilancio mantenendo, per comodità, i prezzi fissi a 1 in ciascun periodo. Supponiamo dapprima che il consumatore decida di risparmiare, così che c1, il consumo del periodo 1, sia inferiore a m1, il reddito del periodo 1. In questo caso, otterrà degli interessi sul denaro risparmiato, m1 - c1, al tasso di interesse r. La quantità di consumo nel periodo successivo sarà quindi:

c2 = m2 + (m1 - c1) + r * (m1 - c1) =

m2 + (1 + r) * (m1 - c1)

 


                                            =                                              .

Il consumo del periodo  2 corrisponde alla somma del reddito del consumatore, di ciò che ha risparmiato nel periodo 1, e dell'interesse maturato sui suoi risparmi.

Supponiamo, ora, che il consumatore prenda denaro a prestito, così che il consumo del periodo 1 sia maggiore del suo reddito nello stesso periodo. Il consumatore prende a prestito denaro se c1 > m1, e l'interesse che dovrà are nel periodo 2 sarà r * (c1 - m1). Naturalmente dovrà anche restituire c1 - m1, il denaro preso a prestito. Il suo vincolo di bilancio sarà pertanto:

c2 = m2 - r * (c1 - m1) - (c1 - m1) =

m2 + (1 + r) * (m1 - c1)

 


                                            =                                        

che equivale al risultato precedente.

                              > 0 T il consumatore ottiene degli interessi sui suoi risparmi.




Se m1 - c1             

                              < 0 T il consumatore a interessi sul denaro preso a prestito.

Nel caso in cui c1 = m1, necessariamente c2 = m2, e il consumatore non prende né dà a prestito denaro. Possiamo dire in questo caso che la sua posizione di consumo coincide col «punto di Polonio» (da una scena dell'Amleto di W. Shakespeare in cui Polonio, parlando al lio, dice «Non indebitarti e non prestar soldi, perché chi presta perde sé e l'amico, e il debito smussa il filo dell'economia»).

Possiamo trasformare il vincolo di bilancio ottenendo due utili espressioni alternative. Abbiamo:

c2 = m2 + (1 + r) * (m1 - c1);

c2 = m2 + (1 + r) * m1 - (1 + r) * c1;

(1 + r) * c1 + c2 = (1 + r) * m1 + m2

 

1

 


e

c1 + c2/(1 + r)  = m1 + m2/(1 + r)

 

2

 


Osserviamo che entrambe le equazioni hanno la forma:

p1 * c1 + p2 * c2 = p1 * m1 + p2 * m2.

1

 


Nell'equazione          , p1 = 1 + r e p2 = 1.

2

 


Nell'equazione          , p1 = 1 e p2 = 1/(1 + r).

1

 

2

 


L'equazione           esprime il vincolo di bilancio in termini del valore futuro. L'equazione          

esprime il vincolo di bilancio in termini del valore attuale.

1

 


2

 
Il vincolo di bilancio          esprime il prezzo del periodo 1 relativamente al prezzo del periodo 2, mentre si ha l'opposto nel vincolo di bilancio          .

Rappresentiamo il valore attuale e il valore futuro da un punto di vista geometrico:


                                 c2

                         Reddito

                              futuro

                            

 (1+r) * m1 + m2

è il consumo futuro

se il consumo presente

è nullo

 


                                m2

                                                                      - (1 + r)

                                                            m1                                             c1

                                                                                                                           Reddito

                                                                                                                           presente

m1 + m2 /(1+r)

è  il consumo presente

se il consumo futuro

è nullo

 


preferenze relative al consumo. Consideriamo, ora, le preferenze del consumatore, rappresentate dalle curve di indifferenza: la loro forma descrive i gusti del consumatore in periodi diversi.

Se, per esempio, disegniamo delle curve di indifferenza con inclinazione costante -1, queste rappresenteranno i gusti di un consumatore indifferente tra il consumare oggi oppure domani: il suo saggio marginale di sostituzione fra oggi e domani è  -1.

Le curve di indifferenza relative ai perfetti complementi rappresentano un consumatore che intende consumare quantità uguali oggi e domani. Un consumatore di questo tipo sarebbe poco propenso a spostare il consumo da un periodo all'altro, indipendentemente dal valore di scambio del consumo stesso nei diversi periodi.

Ancora una volta, la situazione più ragionevole è rappresentata dal caso intermedio delle preferenze regolari. Il consumatore è disposto, in questo caso, a sostituire una certa quantità del consumo di oggi con il consumo di domani: la quantità che è disposto a sostituire dipende dalla sua particolare combinazione di consumo.            In questo contesto, l'ipotesi di convessità delle preferenze risulta naturale, poiché ne deriva che un consumatore preferisce una quantità «media» di consumo in ciascun periodo piuttosto che una grande quantità oggi e niente domani, oppure il contrario.

 

statica ata. Dati il vincolo di bilancio di un consumatore e le sue preferenze in ciascun periodo, possiamo studiarne la scelta ottima di consumo (c1; c2). Nel caso in cui il consumatore scelga un punto in corrispondenza del quale c1 > m1, prende a prestito, mentre se c1 < m1, dà a prestito.

1° CASO

 


                                 c2

                         Reddito

                              futuro

DOTAZIONE

 
                            


                                m2

                               

SCELTA

 
                                                                  

                                 c2                                    

                                                                                         

                                                                       

                                              m1                       c1                                                                       c1

                                                                                                             Reddito

                                                                                                                               presente

 

Il consumatore prende a prestito oggi per consumare di più (c1 > m1), ando con il reddito di domani (c2 < m2). 

 


                                                                                                                          


                                 c2

2° CASO

 
                         Reddito

                              futuro

SCELTA

 
                            

                                           

                                c2

DOTAZIONE

 
                               

                                                                  

                                m2                                    

                                                                                         

                                                                      

                                                    c1             m1                                                                       c1

                                                                                                             Reddito

                                                                                                                               presente

                                                                                                                          

Il consumatore dà a prestito oggi (c1 < m1) per consumare di più domani con il reddito di domani (c2 > m2). 

 


Consideriamo, ora, come il consumatore reagisce ad una variazione del tasso di interesse. Un incremento del tasso di interesse rende più ripida la retta di bilancio: se il tasso di interesse è più elevato, ad una riduzione di c1 corrisponderà un aumento del consumo nel periodo 2. Naturalmente, l'acquisto della dotazione iniziale è sempre possibile, e quindi la retta ruoterà intorno al punto corrispondente alla dotazione stessa.

Consideriamo, ora, come si modifica la scelta fra dare e prendere a prestito al variare del tasso di interesse. ½ sono due casi, a seconda che il consumatore inizialmente prenda oppure dia a prestito. Supponiamo dapprima che il consumatore dia a prestito: in questo caso, se il tasso di interesse aumenta, r¢ > r, continuerà a dare a prestito.

Rappresentiamo il caso graficamente:

3° CASO

 


NUOVO

CONSUMO

 
                                 c2

                         Reddito

                              futuro

CONSUMO

INIZIALE

 
                            

                                               

                                 

                                                                 

DOTAZIONE

 
                                                                  

                               m2                                    

                                                                                        


                                                                       

                                                                m1                                                                   c1

                                                                                                             Reddito

                                                                             - (r¢ + 1)   - (r + 1)                      presente

                                                                                                                     

Se il consumatore inizialmente dà a prestito, il suo paniere ottimo di consumo si trova a sinistra del punto di dotazione.

Se il tasso di interesse aumenta, è impossibile che il consumatore si sposti verso un nuovo punto a destra della dotazione. Infatti, le scelte a destra erano già disponibili in corrispondenza dell'insieme di bilancio iniziale, e sono state rifiutate a favore del punto scelto. Poiché il paniere ottimo iniziale è ancora disponibile in corrispondenza della nuova retta di bilancio, il nuovo paniere ottimo deve trovarsi al di fuori dell'insieme di bilancio iniziale - cioè a sinistra del punto di dotazione.

Quindi, se inizialmente il consumatore dà a prestito e il tasso di interesse aumenta, il consumatore continuerà a dare a prestito.

Una situazione analoga si verifica nel caso in cui il consumatore prenda a prestito e il tasso di interesse diminuisca: se inizialmente il consumatore prende a prestito e il tasso di interesse diminuisce, egli continuerà a prendere a prestito.

Graficamente, abbiamo:


                                 c2

                         Reddito

                              futuro

                            

DOTAZIONE

 
                                             

                                

                                                             

CONSUMO INIZIALE

 
                                m2                                  

                                                                                                          

NUOVO CONSUMO

 
                                                                                                                                                                                                           




                                                                       

                                                          m1                                                                                 c1

                                                                                                             Reddito

                                                                                      - (r + 1)       - (r¢ + 1)        presente

D'altra parte se un individuo dà a prestito ed il tasso di interesse diminuisce, può anche decidere di iniziare a prendere a prestito.

In conclusione un consumatore che non può comprare oggi beni futuri, data l’assenza di mercati a termine, massimizza una funzione di utilità intertemporale sottostante a due distinti vincoli che esprimono il vincolo di bilancio del primo e del secondo periodo. Si pone quindi sia il problema relativo alle aspettative sui prezzi e sui redditi attesi per il periodo futuro sia il problema di individuare appropriati strumenti per trasferire il potere d’acquisto dal presente al futuro. Occorre pertanto introdurre un mercato delle obbligazioni. Il consumatore - risparmiatore potrà comprare obbligazioni ( che danno diritto a riscuotere nel periodo 2 una somma di denaro) in modo tale che ( se indichiamo con B i titoli e con  s il risparmio):

s= (m1 - c1)

B = (1 + r) * s

s = B (1/(1+r))

pb =1/(1+r)

Facciamo l’ipotesi che l’analisi si svolga in condizioni di certezza cioè che il consumatore sia sicuro sul valore atteso del reddito e dei prezzi ( m2, p12 e p22). Esaminiamo il problema dell’equilibrio del consumatore applicando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

Si tratta di un problema di massimizzazione vincolata del tipo:

Max u(x11, x21, x12, x22,)

tale che p1 1* x11 + p21 * x21 +pb B = m1

e

p12 * x12 + p2 2* x22 = m2+B

 


   

                                                                                           .

Scriviamo, innanzitutto, la Lagrangiana:

L = u(x11, x21, x12, x22,) +l * (m1 - p 11 * x11 - p21 * x21 -pb B ) +l (m2+B - p1 2x12- p22x22 )

 


 

dove  l e  l sono   i moltiplicatori di Lagrange.

Calcoliamo le derivate prime rispetto a x11, x21, x12, x22, B, l E l Si ottengono, così, le condizioni del primo ordine:

                                        1)                      U /x11 - l * p11= 0             

                                        2)                      U/x21 - l * p21= 0

                                        3)                     U /x12 - l* p12= 0

                                        4)                     U/x22 - l* p22= 0

                                        5)                     pb =l’/l

                                        6)                     m1 = p 1 1* x11 + p2 1* x21 +pb B 

                                        7)                     m2+B = p 12 x12+ p22 * x22

Otteniamo con opportune trasformazioni, dividendo le equazioni  2, 3 e 4 per la 1:

                                                U /x21 / U/x11= p21/ p11

                                                U /x12 / U/x11= l’p1 2 / l p11

                                                  U/x22/ U/x11 = l’p2 2 / l p11

                           m1 = p11x11 + p21x21+pbB 

                       m2+B = p12x12+ p22x22

                                                               l’=l pb

Similmente otteniamo tenendo conto che l’=l pb :

                                                  U /x21 / U/x11= p21/ p11

                                                  U /x12 / U/x11=lpb p1 2 / l p11

                                                    U/x22/ U/x11 = l pb p2 2 / l p11

                            m1 = p11x11 + p21x21+pbB 

                         m2+B = p12x12+ p22x22

dato che pb =1/(1+r):


                                   1)                        U /x21 / U/x11= p21/ p11

                                   2)                       U /x12 / U/x11= (p12 /(1+r)) / p11

                                   3)                        U/x22/ U/x11 = (p22/(1+r)) / p11

                                   4)                         m1 = p11x11 + p21x21+pbB 

                                   5)                         m2+B = p12x12+ p22x22

Quindi in equilibrio le quantità consumate nel periodo corrente dei beni 1 e 2 e dei titoli (x11,x21 e B) e i consumi futuri (x12e x22) debbono essere tali da rispettare i vincoli di bilancio (equazioni 4 e 5). Il saggio marginale di sostituzione tra i beni (x11,x21 ) come di consueto deve essere uguale al rapporto tra prezzi (equazione 1). In base alla seconda equazione il rapporto tra l’utilità marginale attesa del bene 1 consumato in futuro e l’utilità marginale del bene 1 consumato oggi deve essere uguale al rapporto tra il prezzo atteso del bene 1, scontato al tasso d’interesse di mercato, ed il prezzo corrente del bene 1. Il saggio marginale di sostituzione intertemporale è dato dal numero delle unità del bene 1 che oggi sono necessarie per sostituire una unità del bene 1 consumabile nel periodo successivo rimanendo indifferente (lo stesso vale per il bene 2).

Un altro aspetto interessante di questa analisi è che se i prezzi correnti aumentano, e il consumatore pensa che l’aumento sia temporaneo, esso tenderà a sostituire al consumo presente quello futuro, posticipando l’acquisto del bene. Questo si chiama  effetto di sostituzione intertemporale e si verifica perché cambiano i prezzi relativi dello stesso bene riferiti a periodi diversi. L’effetto di sostituzione intertemporale può rendere la domanda ancora più sensibile alle variazioni di prezzo. Dal momento tuttavia che i prezzi attesi in generale dipendono da quelli correnti è importante l’elasticità delle aspettative (cioè la misura in cui i prezzi attesi reagiscono alle variazioni dei prezzi correnti).

Dal processo di massimizzazione si ottengono le funzioni di domanda dei beni, correnti (x11d , x21d) e futuri (x12d, x22d), e delle obbligazioni (B d):

x11d=f(p11 , p21  ,p12 ,p22 ,pb ,  m 1 , m2)          

x21d=f(p11 , p21  ,p12 ,p22 ,pb ,  m 1 , m2)             

x12d=f(p11 , p21  ,p12 ,p22 ,pb ,  m 1 , m2)      

x22d=f(p11 , p21  ,p12 ,p22 ,pb ,  m 1 , m2)  

Bd=f (p11 , p21  ,p12 ,p22 ,pb ,  m 1 , m2) 

I titoli tuttavia, come ogni altra attività finanziaria, non possono entrare direttamente nella funzione di utilità del consumatore, non essendo consumabili direttamente. I titoli posseggono solo un’utilità indiretta, legata al consumo futuro che essi rendono possibile[1].



[1] potremmo sostituire a x12e x22  le grandezze da cui dipendono p1, p2 e B  e ottenere una funzione di utilità derivata dove entrano anche i titoli, del tipo:

V(x11, x21, B, p11, p21,)






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