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La figura di Faraday

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La ura di Faraday

'Sono sicuro di avere incontrato molte persone che sarebbero potute diventare buoni e validi cultori di scienza, e che si sono guadagnate una grande fama: ma la fama e il guadagno era ciò che essi stessi avevano sempre cercato di ottenere - la ricompensa della lode del mondo. Per questi tipi è sempre presente un'ombra di gelosia o di rimpianto e non riesco a immaginare come un uomo possa fare delle scoperte nutrendo sentimenti del genere.”


Infaticabile

'Non ho mai avuto uno studente o allievo sotto di me che mi

aiutasse negli esperimenti, ma ho sempre preparato ed eseguito le esperienze con le mie mani, lavorando e pensando allo stesso tempo.”




Abile artigiano

Mentre Faraday lavorava come apprendista in una libreria, si dedicava con passione alla costruzione di apparecchi scientifici. Nella ura il padrone della libreria mostra a un cliente, presente il giovinetto Faraday, una macchinetta elettrica da lui costruita che produceva scintille elettriche.


Grande divulgatore

Non fu solo un genio, ma anche uno dei grandi divulgatori scientifici e la 'Lezione di Natale per bambini' del 1826 è custodita ancora oggi nella sede della Royal Society a Londra. Furono quasi una ventina le lezioni di questo tipo tenute da Faraday, e l'attuale banconota da 20 sterline lo mostra in una di queste occasioni. La sua lezione più famosa trattava della 'Storia naturale di una candela'.


Scientificamente parlando, Faraday fu un autodidatta. La sua formazione culturale poté così compiersi senza subire i pesanti condizionamenti di una rigida tradizione scientifica che nelle Scuole e nelle Accademie inglesi era cresciuta all'ombra di un ossequioso rispetto del credo newtoniano. Faraday elaborò un suo originalissimo metodo di ricerca nel quale, da una parte, viene bandito l'uso di ogni strumento matematico quale criterio rigoroso di deduzione, a partire da assunzioni generali, di leggi sottoponibili al controllo sperimentale, dall'altra, è l'attività di laboratorio, sorretta da un’eccezionale abilità nel riprodurre la moltitudine di situazioni concrete entro le quali può essere esaminato un dato fenomeno, a guidare direttamente la scelta tra le varie ipotesi teoriche che su di esso possono essere fatte.

La fisica di Faraday fu risolutamente antinewtoniana, nel senso che egli si rifiutò di aderire a quei programmi di ricerca che vedevano nella riduzione alle leggi della meccanica l'unica forma di spiegazione scientifica. In particolare, egli fu sempre fermamente convinto che i due pilastri del pensiero di Newton - il dualismo materia-forza e il concetto di azione a distanza - erano divenuti del tutto insufficienti, anzi costituissero dei veri e propri ostacoli alla comprensione di una realtà fisica arricchitasi di nuove determinazioni, grazie all'eccezionale sviluppo della fisica sperimentale attorno al 1800.

Faraday analizzò, nel 1821, l’azione scoperta da Oersted, che vedeva un “conflitto elettrico” agire attorno all’asse del filo. Servendosi di un apparato che consente di far ruotare in modo continuo sia un filo percorso da corrente attorno a un polo magnetico sia un polo attorno al filo, egli sostenne che il magnete e gli effetti magnetici vanno considerati indipendenti e mise a punto l'idea che lo spazio è solcato da linee di forza magnetiche curve.

A partire dalla scoperta del carattere non centrale, ma circolare, delle forze magnetiche attorno al filo, tutta la successiva ricerca di Faraday si concentrò nell’individuazione di un esperimento cruciale che mostrasse in termini ultimativi l'insostenibilità dell'idea che in natura operassero azioni istantanee a distanza. Ma, per poter affermare che l'azione tra corpi distanti si trasmette nel tempo tra una e l'altra del campo e che in ogni punto la direzione di quell'azione è indicata dalle linee di forza, non era sufficiente demolire la fisica amperiana alla luce dell'evidenza sperimentale, piuttosto occorreva dare una nuova base concettuale all'intera teoria. Quale doveva essere la struttura del mezzo perché esso divenisse la sede di un complesso sistema di forze la cui distribuzione dipendesse dai corpi presenti al suo interno? Era ancora difendibile un’immagine atomistica della materia una volta che gli atomi non fossero più identificabili con centri di forze newtoniane, in altre parole come era possibile conciliare la discretezza della materia con l'apparente continuità del campo?

Nel corso degli anni '20, sviluppando una analogia con l'effetto di trasmissione dell'elettricità attraverso una soluzione elettrolitica, Faraday sostenne l'ipotesi della natura particellare del mezzo e considerò le linee di forza come entità immaginarie che rappresentavano la distribuzione delle particelle del mezzo per effetto della polarizzazione.

Tra il 1831 e il 1837 Faraday ottenne due importanti risultati sperimentali che fecero compiere alla teoria di campo una decisiva evoluzione. La scoperta dell'induzione elettromagnetica mostrava la convertibilità del magnetismo nell'elettricità, cioè esattamente l'effetto opposto a quello trovato da Oersted un decennio prima. £ possibile produrre un flusso di corrente elettrica qualora si muova un conduttore all'interno del campo magnetico; la corrente prodotta dipenderà dalle linee di forza intercettate dal conduttore stesso. La seconda scoperta permetteva di affermare che, anche nel caso ben noto dell'induzione elettrostatica, le forze elettriche si trasmettono lungo linee curve.

Sul piano concettuale Faraday traeva da questi esperimenti due importanti conseguenze. Da una parte, si doveva supporre che il filo posto all'interno dei campo magnetico si trovasse in uno stato speciale, che Faraday indicava come «stato elettrotonico», e che la corrente fosse nient'altro che il cambiamento di questo stato prodotto dalle forze magnetiche. Dall'altra, andava riformulata l'ipotesi atomistica della materia e abbandonata l'immagine di un mezzo che esplica la propria funzione attraverso la polarizzazione delle particelle in esso presenti. Solo così si evitava di riproporre a livello microscopico le azioni a distanza e si poteva superare il paradosso di assegnare al mezzo le proprietà di un isolante e di un conduttore a seconda che esso si venisse a trovare rispettivamente negli spazi intermolecolari di sostanze isolanti o conduttrici.

In una serie di memorie pubblicate tra il 1846 e il 1857, Faraday riuscì a elaborare la più generale e la più coerente formulazione della teoria di campo assegnando un'autonoma esistenza fisica alle linee di forza, concependo la materia come una forza diffusa su tutto lo spazio e tentando di ricomprendere all'interno della concezione delle linee di forza le stesse azioni gravitazionali. Anche se molti erano ancora gli interrogativi che Faraday lasciava in eredità alla ricerca futura, egli riuscì a portare a termine il suo progetto di eliminazione del dualismo materia-forza dalla scienza fisica. Particolarmente ricca di stimoli si sarebbe rivelata la posizione che Faraday assunse nei confronti del problema dell'etere al quale i fisici matematici erano ricorsi per spiegare la proazione delle onde luminose attraverso lo spazio. Se la materia è continua in tutto lo spazio e se gli atomi vanno visti come punti geometrici da cui si diramano sistemi di forze, l'etere, così diceva Faraday, diveniva un inutile duplicato della materia. Fu proprio lo sviluppo di questa visione che permise a Lord Kelvin e a Maxwell rispettivamente di elaborare una teoria della materia come un prodotto dinamico-strutturale di un pieno continuo di forza esteso a tutto lo spazio e di scoprire la natura elettromagnetica della luce.

L'opera di Faraday è raccolta nelle Experimental researches in electricity e nel Diary che costituiscono una delle testimonianze più vive del lavoro dello scienziato. Leggendo quelle ine è possibile ancora oggi seguire Faraday nel suo laboratorio mentre interroga la natura e seguendo il filo dei suoi ragionamenti, in esse scrupolosamente annotati, si vedono allargarsi i confini della conoscenza con una meravigliosa sintesi di pensiero teorico e di attività pratica.


Il concetto di campo prima di Faraday

Prima dell'intuizione di Faraday le linee che la limatura di ferro formava quando veniva posto in prossimità di una calamita erano considerate solamente una curiosità di scarsa importanza per lo studio dei fenomeni. Inoltre, fino a quel momento era ancora rimasto irrisolto un grosso problema che teneva impegnate le menti più brillanti del tempo: l’azione a distanza.

Il diverbio si poteva affrontare da due diversi punti di vista: ammettere che un corpo potesse esercitare un'influenza in uno spazio in cui non si estendeva oppure cercare di rilevare un mezzo interposto ai corpi attraverso cui reazione si potesse trasmettere.

Attraverso lo studio delle linee di forza Faraday riuscì a dare un significato fisico allo spazio, che in questo modo assumeva caratteristiche e proprietà che potevano essere studiate e modificate. In poche parole definì il concetto di campo.

L'azione a distanza, pur avendo dato fino ad allora risultati notevoli, era tuttavia difficilmente accettabile dal pulito di vista teorico, ammettere che due corpi distanti si potessero influenzare appariva agli scienziati una possibilità difficilmente credibile, che suonava ai loro orecchi come un fenomeno sovrannaturale, al pari della telepatia o di altre dottrine 'magiche'. Lo stesso Newton, le cui teorie si basavano principalmente sull'azione a distanza, inorridiva davanti a una simile prospettiva:


'Che la gravità debba essere innata, inerente ed essenziale alla materia, cosicché ogni corpo agisce su ogni altro a distanza attraverso il vuoto senza la mediazione di niente attraverso cui e per il cui mezzo le loro azioni e forze possano venire trasmesse dall’uno all'altro, e per me un'assurdità così grande che io ritengo che nessuna persona che nelle questioni filosofiche sia dotata di una capace facoltà di pensare possa mai cascarci.'




Da allora il tentativo di capire cosa fosse realmente il vuoto fu una delle occupazioni principali dei teorici e degli scienziati, e grazie a Faraday questo problema venne abilmente risolto, in pratica lo spazio veniva a coincidere con le linee di forza e poteva quindi essere studiato matematicamente.

Per avvalorare la tesi secondo cui lo spazio interposto fra due corpi (calamite o cariche elettriche) abbia delle caratteristiche proprie e possa essere modificato, Faraday ricorse a diverse prove, fra cui:

Le linee di forza possono essere curvate, e questo non si poteva spiegare attraverso l'azione a distanza, in particolare nel caso di linee attorno a un filo percorso da corrente

I fenomeni elettromagnetici possono essere modificati da un mezzo interposto, e questo dimostra che l'interazione non è indipendente dallo spazio circostante.

Per il fenomeno dell'induzione: si crea una corrente in una bobina quando viene mossa una fonte di campo magnetico. Ciò non si spiega con lì solo movimento, ma devono cambiare le condizioni dello spazio attorno alla bobina.

In particolare quest'ultimo punto stava a cuore a Faraday che a questo riguardo scrisse:


'Ora tutti questi fatti e altri ancora provano l'esistenza di linee di forza fisiche sie esterne che interne al magnete I fenomeni osservati con il filo mobile portano alla stessa conclusione. Non appena il filo si muove lungo le linee di forza una corrente elettrica lo percorre o tende a percorrerlo, mentre non c'è corrente quando il filo è ancora fermo La semplice azione di moto non può aver prodotto questa corrente: ci deve essere stata una condizione attorno al magnete da esso alimentata, nel cui raggio d'azione si trova il filo: e questa condizione mostra la costituzione fisica delle linee di forza magnetica.'


Il campo secondo Faraday

Si può osservare facilmente che è possibile descrivere una zona dello spazio attraverso delle linee. Questa rappresentazione è usata tuttora nelle cartine meteorologiche, che

Rappresentano temperature o pressioni. Le linee che compaiono rappresentano nel caso della carta geografica le diverse attitudini, mentre, per quanto riguarda le rilevazioni metereologiche, le diverse pressioni.

L'intuizione di Faraday fu quella di applicare questo metodo allo studio dei fenomeni elettromagnetici. Attraverso l'osservazione delle linee che si formano ad esempio facendo passare una corrente elettrica attraverso un sistema costituito da olio di ricino e semolino oppure avvicinando una calamita a della limatura di ferro, Faraday concluse che quelle linee non erano solo un fenomeno casuale ma potevano rappresentare una proprietà fisica dello spazio.

Si dice “campo” quella zona dello spazio modificata dalla presenza di una fonte che possiede proprietà descrivibili secondo leggi fisiche. Faraday stabilì per il campo due leggi fondamentali:

Le forze sono sempre tangenti alle linee del campo;

La densità delle linee dì forza indica l'intensità della forza.

In questo modo le linee assumono un significato fisico.


Il problema specifico.

Introdotto il concetto di campo vettoriale con tutte le sue principali definizioni (linee di forza, flusso, circuitazione ecc,), precisato il concetto di valore medio di una grandezza variabile ed il modo in cui dal valore medio si passa al valore istantaneo, si possono richiamare esempi di campi che già sono stati trattati nelle diverse discipline tecniche: il campo gravitazionale, H campo elettrostatico, il campo di velocità dei fluidi, il campo di corrente.

Ci si accorge che in ognuno di questi campi si arriva a definire una relazione che lega due grandezze utilizzate nella descrizione del campo. Il legame tra di esse è determinato da un parametro caratteristico del mezzo fisico che determina lo spazio in cui il campo è presente. Le due grandezze possono essere distinte, da un punto di vista pratico, attribuendo ad una di esse il ruolo di causa all'altra il ruolo di effetto. Si tratta di una distinzione che h, una @one essenzialmente pratica, comoda per fini tecnici, ma che la fisica moderna tende ad eliminare. Il legame può essere posto nella forma simbolica:


Effetto = Funzione (Causa)


Matematicamente si può scrivere:


E=F*C

E: effetto; C: Causa; F: caratteristica del mezzo.


La causa tecnica fondamentale del campo magnetico è l'intensità di corrente elettrica. Si deve anche considerare il numero di rotazioni complete che le cariche elettriche farebbero, nel caso di e continua, per tornare al punto di partenza (spire).

Da questo punto di vista la corrente elettrica o, meglio, il prodotto dell'intensità di corrente per il numero delle spire assume il nome di forza magnetomotrice (f.m.m.).

L'effetto che consideriamo è l'insorgere di una forza elettromotrice (f.e.m.) in un circuito che assume una posizione variabile nel tempo rispetto alle linee di forza magnetiche o rispetto al quale le linee di forza magnetiche cambiano di orientazione e/o densità.

L'effetto è facile notarlo con semplici esperienze di laboratorio, ad esempio movendo un magnete permanente od elettromagnete nei pressi di una bobina ai cui capi è collegato un voltmetro.



Si può osservare che movimenti opposti generano effetti (tensioni) di segno opposto e che movimenti identici effettuati a velocità maggiore determinano effetti più intensi.

Le osservazioni precedenti sono interessanti ma qualitative: occorre ricercare una legge quantitativa rigorosa se si vuole ritenere di aver compreso compiutamente il fenomeno.

L'esperienza descritta induce a dire che la forza elettromotrice che si sviluppa nel circuito è con ogni probabilità proporzionale alla velocità con cui avviene la variazione della porzione di campo magnetico abbracciata dal circuito.

In altre parole si può scrivere una legge del tipo:


f.e.m = ΔCampo Tempo


Per quel che riguarda l'intervallo di tempo non ci sono dubbi: è l'intervallo che intercorre dal momento in cui ha inizio la nostra osservazione fino al momento in cui la stessa si conclude. Se osserviamo il voltmetro ci accorgiamo che il valore misurato varia nel tempo: considereremo pertanto un parametro globale che possa caratterizzare l'insieme dei valori, il valore medio, ad esempio, matematicamente così definito: suddiviso l'intervallo di tempo in n parti, se n è abbastanza elevato, si può considerare come valore caratteristico dell'intervallo i-esimo la media aritmetica dei valori assunti agli estremi di questo intervallo. La tensione media sarà allora definita come la somma degli n prodotti intervallo di tempo i-esimo per il valore caratteristico di tensione di quell'intervallo, diviso l'intero intervallo di tempo. Brevemente, in forma matematica:


Emedio = 1/Δt*Σ ui?Δti


Risultano così definite anche le dimensioni fisiche della grandezza che caratterizza la variazione di campo. La tensione si misura in volt, il tempo in secondi, la 'variazione di campo' in volt*secondo che chiameremo weber. Si può ovviamente definire un simbolo per rappresentare la grandezza che abbiamo momentaneamente chiamato variazione di campo. Per meglio identificarla ricorriamo alle nozioni matematiche acquisite sui campi vettoriali.

Se il campo è rappresentabile con le linee di forza la 'variazione di campo' da considerare non è altro che il variare della densità e dell'inclinazione di queste linee rispetto alla superficie racchiusa dal circuito elettrico. Ora, la grandezza che matematicamente descrive quanto detto è il flusso di un vettore.

Possiamo in definitiva affermare che: il valore assoluto della forza elettromotrice media indotta in un circuito è proporzionale alla velocità con cui varia il flusso magnetico abbracciato dal circuito e la costante di proporzionalità corrisponde al numero di spire.


Em = N·(ΔΦ/Δt)


Abbiamo evidentemente fatto, giunti a questo punto, un bel passo.

E' però evidente che si tratta di una legge dedotta da considerazioni teoriche: per poterla accettare occorre verificarla sperimentalmente.

Ricordiamo cosa si è fatto per riconoscere la legge di Ohm per i conduttori o conte si è verificata la legge sul condensatore.

Nel primo caso misurata con un voltmetro una tensione variabile ai capi del conduttore e, con un amperometro la corrente che l'attraversa, riportando in una tabella i valori delle due grandezze si costruisce un grafico che è una retta: la legge di Ohm non è altro che l'equazione matematica di questa retta.

Nel caso del condensatore, costruendo una tabella con i valori della corrente di carica in istanti successivi dall'inizio del processo fino al suo pratico completamente, si ottiene un grafico che si riconosce essere di tipo esponenziale decrescente. Dalle caratteristiche di questa curva potremo ricavare le proprietà principali del condensatore: in particolare, misurando l'area sottesa dalla curva della corrente troveremo un valore proporzionale alla tensione finale esistente sul condensatore.

L'area ha le dimensioni della carica elettrica essendo il prodotto di intensità di corrente per tempo e la costante di proporzionalità tra la carica e la tensione definisce la capacità del condensatore.

Anche nel caso della legge di Faraday possiamo immaginare di procedere in modo simile. Organizziamo una esperienza in cui produciamo variazioni identiche di flusso magnetico in tempi diversi.




Possiamo ritenere di produrre variazioni identiche del flusso magnetico concatenato con il circuito se le posizioni relative iniziali e finali del magnete e del circuito elettrico sono sempre le stesse. Al circuito è collegato voltmetro (o, ancora meglio, l'ingresso analogico della, scheda di acquisizione dati di un computer)

Osservando i grafici tensione-tempo che si ottengono analizzando i dati raccolti, noteremo che l'area sottesa dalla curva di tensione è una costante. Potremo allora affermare che l'altezza del rettangolo che ha quell'area è inversamente proporzionale all'intervallo di tempo corrispondente alla durata del fenomeno.

L'altezza di quel rettangolo non è altro che il valore medio della tensione indotta Em, e l'area costante non potrà altro che dipendere da ciò che nell'esperienza è mantenuto costante, la posizione finale e posizione iniziale che definiscono la variazione complessiva del flusso.Nella posizione iniziale il circuito elettrico sarà concatenato con un certo flusso magnetico Φi, in quella finale da un valore Φf.

Sintetizzando con la matematica:


Em = k ·(1/ tf - ti) = k’ · 1/[(Φf- Φi)/( tf - ti)]




Ripetendo l'esperienza con circuiti aventi un diverso numero di spire potremo riconoscere che K' è legato al numero di spire, oppure potremo introdurre il concetto di flusso concatenato con il circuito come Φc = k' * Φ e scrivere, avendo posto Δt = tf - ti


Em = ΔΦc/Δt


In definitiva, arrivare ad una definizione quantitativa del fenomeno, quindi verificare la legge.

Nella discussione precedente non si è accennato alla polarità della tensione. Poiché, come possiamo facilmente verificare essa cambia (basta scambiare la posizione finale con quella iniziale) potremo pensare di legarla al segno del flusso. E' necessario allora precisare le convenzioni da adottare per stabilire il segno del flusso e la polarità della tensione indotta.

Un problema formale simile è stato affrontato con la legge di Ohm. Indicando come positiva la corrente convenzionale che, attraverso il conduttore, fluisce dal punto a potenziale più alto Vi

verso il punto a potenziale più basso Vu, si può scrivere U = R*I essendo U = Vi-Vu.

Indicando come positiva la corrente opposta I' si deve scrivere U = -R*I’. Si è scelta la prima conone, chiamata convenzione dell'utilizzatore, perché in un utilizzatore la corrente convenzionale va dal punto a potenziale più elevato verso quello a potenziale più basso.




Nel caso del fenomeno che si sta studiando, stabilito il verso positivo del flusso secondo la definizione matematica di flusso di un vettore attraverso una superficie chiusa, (vedi . sopra) Φ = B* S* cosα dove α è l'angolo che il verso positivo assegnato alla perpendicolare alla superficie individuata dal contorno della superficie di area S, forma con la direzione positiva del vettore caratteristico del campo; si deve stabilire il verso positivo o, ciò che è lo stesso, la polarità della f.e.m. indotta.

La scelta è arbitraria, com'era arbitrario stabilire quale verso di corrente considerare positivo nella legge di Ohm, ma una volta fatta, l'esperienza che ha portato ad enunciare la legge di Faraday fornisce tutti gli elementi per stabilire il segno nella legge. Se ad esempio conveniamo di assumere come polarità positiva della tensione indotta quella che determina nel circuito una corrente il cui verso convenzionale, considerato unicamente al verso positivo assunto per la normale alla superficie delimitata dal circuito, rispetto al quale si è stabilito il segno del flusso, corrisponde a rotazione ed avanzamento di una vite destrogira, nella formula va introdotto il segno meno. Va ricordato a questo punto che una corrente in un circuito produce un campo magnetico che ha un verso tale che insieme alla corrente convenzionale che lo produce corrisponde a rotazione e senso di avanzamento di una vite destrogira. Il segno meno nella formula evidenzia bene che l'eventuale corrente indotta dà origine ad un campo magnetico opposto alla variazione che lo ha prodotto. Quest'ultima osservazione è nota come legge di Lenz ed era prevedibile per il fatto che la tensione indotta assume un valore finito. Se così non fosse, se cioè la corrente indotta producesse un campo magnetico concorde con la variazione che ne è la causa, il fenomeno si autoesalterebbe determinando impossibili tensioni infinite. Potremo denominare questa legge come il principio di azione e reazione elettromagnetico.

Avremo pertanto:


Em = -ΔΦc/Δt


Il vettore caratteristico del campo che dà luogo al flusso, indicato con la lettera B, si chiama induzione magnetica. La sua dimensione fisica corrisponde al flusso per unità di superficie, quindi [V][s][M]-2 e si chiama tesla. [T]. L'unità di misura del flusso [V] [s] si chiama weber [Wb].

Il campo magnetico potrebbe esistere senza che noi sapessimo come produrlo e fosse solo una proprietà dei magneti permanenti che si trovano in natura. Il vettore B definito dalla legge di Faraday è la grandezza vettoriale che lo caratterizza.

Però sappiamo che sono le correnti elettriche a produrre i campi magnetici e, tecnicamente, è questo il metodo usato per produrre i campi magnetici desiderati.

Il campo magnetico prodotto da una corrente elettrica è tanto più intenso quanto più elevata è l'intensità di corrente, tanto più elevato quanto maggiore è il numero delle spire, tanto meno intenso quanto maggiore è la lunghezza su cui sono distribuite le spire o quanto maggiore è la distanza dal circuito elettrico o quanto più lunga è la linea di forza cui il punto considerato

appartiene.

Questo insieme di osservazioni porta a definire una grandezza proporzionale all'intensità di corrente ed inversamente proporzionale ad una lunghezza, cui si attribuisce il nome di campo magnetico ed è usualmente indicata con il simbolo H. La sua dimensione fisica è I' [A] [M]-l, ed è un vettore che ha la stessa direzione e lo stesso verso di B.

Si trova che a parità H, B dipende dal mezzo in cui il campo magnetico si sviluppa. Si può allora stabilire una relazione tra B ed H del tipo


B = μ?H


dove si è introdotta una grandezza che è caratteristica del mezzo ed a cui si dà il nome di permeabilità magnetica assoluta. La sua unità di misura si deduce dalla relazione scritta,

corrisponde all' [Ω][s][M] -l. L'impulso di resistenza [Ω][s] è denominato henry il cui simbolo è [H]: esso è l'unità di misura del parametro che lega la corrente al flusso magnetico da essa prodotto e che si concatena con il circuito stesso: H coefficiente di autoinduzione indicato generalmente con L.

Nella ura che segue sono riportate i grafici e le misure di tensione di una possibile esperienza cui sono state fatte due serie di misure secondo le modalità in precedenza descritte.


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