POSTULATI DELLA MECCANICA QUANTISTICA NELLA FORMULAZIONE DI SCHRÖDINGER

POSTULATI DELLA MECCANICA QUANTISTICA

NELLA FORMULAZIONE DI SCHRÖDINGER

Vogliamo sintetizzare e generalizzare quanto abbiamo ricavato finora in un insieme di postulati, che caratterizzano la formulazione della meccanica quantistica secondo la cosiddetta rappresentazione di Schrödinger.

In tale rappresentazione lo stato di un sistema fisico è associato alla conoscenza di una funzione d'onda y(x,t) (o ampiezza di probabilità). Inoltre, ad un tempo fissato t, l'insieme dei possibili stati (ovvero delle funzioni d'onda) costituisce uno spazio vettoriale.

Richiamiamo sinteticamente le proprietà che definiscono uno spazio vettoriale:

a)  Dati due elementi dello spazio esiste una operazione di somma che defisce un terzo elemento dello spazio e che gode delle usuali proprietà (chiusura rispetto alla somma).

b)  Dato un numero complesso c ed un elemento dello spazio vettoriale, esiste una operazione di moltiplicazione che definisce un secondo elemento dello spazio stesso e gode delle usuali proprietà della moltiplicazione (chiusura rispetto al prodotto per un complesso).

c)  Esiste un elemento neutro che si ottiene moltiplicando per zero un qualsiasi elemento o sottraendo un elemento a se stesso (elemento neutro).

d)  Esiste una operazione di prodotto scalare che associa a due elementi A,B dello spazio un numero in generale complesso che si muta nel complesso coniugato se si scambia l'ordine dei due elementi nel prodotto scalare (prodotto scalare).

Le prime tre proprietà sono immediatamente soddisfatte se lo spazio è costituito da funzioni complesse. Per prodotto scalare di A,B definiamo:

(A,B)= y _B(x,t)y_A(x,t)dx=(B,A)^*

Questa proprietà limita le possibili funzioni a quelle per cui siano definiti i prodotti scalari.

Abbiamo visto che il modulo quadro della y rappresenta una densità di probabilità. Avranno però un significato probabilistico diretto solo le y normalizzate. Se moltiplichiamo per una costante una y normalizzata, otteniamo una densità di probabilità relativa che è la stessa della corrispondente y normalizzata, quindi sostanzialmente rappresenta lo stesso stato fisico.

Dunque uno stato è descritto da una y a meno di una costante moltiplicativa

operatori lineari

Un operatore lineare a agisce sullo spazio vettoriale inducendo una corrispondenza univoca tra elementi dello spazio, che gode delle seguenti proprietà di linearità:

ay_A(x)=y_B(x)

a y_A(x)+y_B(x)]=ay_A(x)+ay_B(x) (

a[cy(x)]=cay(x)

Omettiamo la dipendenza dal tempo perché stiamo ragionando ad un tempo fissato.

Per convenzione l'operatore agisce sempre alla sua destra. Esempi di operatori lineari sono: il prodotto per una costante, la derivata; (la coniugazione complessa, il logaritmo ecc. invece non sono lineari perché non soddisfano le (1) ).

Si associa ad un operatore l'insieme dei suoi "elementi di matrice a_AB ovvero quei numeri (in generale complessi) che si ottengono applicando l'operatore ad un qualsiasi elemento dello spazio e facendo poi il prodotto scalare con un altro elemento (o anche con lo stesso):

a_AB y _B(x)ay_A(x)dx

Gli elementi di matrice diagonali a_AA vengono detti valor medio dell'operatore (vedi più avanti ( per maggiori approfondimenti).

(altre proprietà sono illustrate a .31 del Camiz-Ferrari)

Si definice operatore hermitiano coniugato di a, l'operatore a il cui elemento di matrice a _AB soddisfa la seguente relazione:

a _AB a_BA T y_B a y_Adx=[ y_A ay_B

Sono particolarmente importanti gli operatori hermitiani, cioè gli operatori che coincidono con i loro hermitiani coniugati.

Un esempio di operatore hermitiano è l'operatore quantità di moto; come è semplice mostrare:

    (elemento di matrice dell'operatore quantità di moto)

integrando per parti =

= = p_AB    T p⁺=p

E' ancora più facile vedere che anche l'operatore x è hermitiano.

Proprietà molto utili degli operatori hermitiani coniugati sono:

ab b a e (a b a b

Dato un operatore, esistono particolari elementi dello spazio vettoriale che si trasformano, sotto l'azione dell'operatore, in se stessi moltiplicati per una costante. Questi elementi vengono detti autofunzioni (o autostati) dell'operatore e le sudddette costanti autovalori associati.

ay(x)=y(x)   a è l'operatore, a' la costante)

Quindi in uno spazio vettoriale ad ogni operatore è associato il suo insieme di autostati e il relativo insieme di autovalori.

L'importanza degli operatori hermitiani risiede nella proprietà di avere autovalori reali. Cio consente di associare le grandezze fisiche agli operatori hermitiani (per es. la quantità di moto) interpretando gli autovalori come i possibili risultati della misura della stessa grandezza fisica. Questa corrsipondenza è alla base del cosiddetto principio di sovrapposizione, che lega gli stati quantistici alle grandezze osservate.

principio di sovrapposizione

"Lo stato di un sistema, rispetto ad una certa grandezza fisica, si può esprimere, ad ogni istante, come combinazione lineare delle autofunzioni corrispondenti all'operatore associato a quella grandezza. I coefficienti a_n(t) di tale combinazione lineare sono numeri complessi il cui modulo quadro esprime la probabilità di osservare l'autovalore relativo a'_n in una misura ripetuta della stessa grandezza

ay_n(x)=a'_ny_n(x) ;

La misura ripetuta implica la disponibilità di un numero arbitrariamente grande di copie del sistema stesso, su ciascuna delle quali viene eseguita una sola misura. Se si ripete infatti la misura sulla stessa copia del sistema, il risultato è sempre lo stesso. Questo è quello che afferma il secondo principio fondamentale, detto della riduzione del "pacchetto d'onda"

principio di riduzione del pacchetto d'onda

"L'effetto di una misura è quello di portare (ridurre) il sistema in una delle autofunzioni y_n(x) della grandezza fisica su cui si opera la misura

basi e completezza degli autostati

Si noti che il principio di sovrapposizione implica che l'insieme degli autostati della grandezza fisica sia una base, ovvero un insieme completo di stati. C'è proprio un teorema che afferma che le autofunzioni di un operatore hermitiano costituiscono un insieme completo per lo spazio vettoriale delle y associate ad un sistema.

Una base è un insieme di elementi tali che un qualsiasi elemento dello spazio vettoriale si può esprimere mediante una combinazione lineare di essi. Quindi ad ogni istante t si avrà:

oppure, se la base è un insieme continuo:

Inoltre si può sempre porre una base in forma ortonomale. Nel caso in cui gli elementi della base siano in corrispondenza con i numeri interi l'ortonomalità si esprime come segue:

   d_n,m d di Kronecker=1 per n=m e 0 per n m) 

Con le basi ortonormali è facile ricavare i c_k conoscendo la y(x):

c_k= y(x)y_k (x)dx (

Come conseguenza immediata del principio di sovrapposizione trova senso la definizione che abbiamo dato di valor medio di una grandezza fisica in un certo stato, cioè

<a> = a_AA y_A (x,t)ay_A(x,t)dx  (

Infatti, se esprimiamo lo stato y_A come sovrapposizione di autostati di a si ottiene:

<a> =

Sfruttando poi la proprietà (2) di ortonormalità, si ottiene l'usuale definizione di valor medio inteso come somma dei possibili risultati della misura, pesati con le probabilità associate a ciascun valore di essa:

<a> = ,  p_n=a_n^*a_n

Nel caso particolare che lo stato su cui calcoliamo la media sia uno dei possibili autostati, ad esempio quello corrispondente ad n=0, si ha naturalmente che p_n=d_n,0. Analogamente, per l'incertezza associata alla grandezza in un certo stato otteniamo:

D a = <(a <a>)²> = ap_n( <a>)²

Infine si verifica facilmente che in un autostato l'incertezza deve essere nulla.

esempio: operatore h (energia)

Un esempio particolarmente importante di applicazione dei principi è quello che riguarda l'operatore energia H (o operatore hamiltoniano). Nel caso generale tale operatore vale:

E' dato quindi dalla somma di due operatori che possono essere identificati con l'energia cinetica e potenziale.

Si può dimostrare che H è hermitiano.

Mediante questo operatore possiamo esprimere l'equazione di Schrödinger (6) come:

Nel caso invece dell'equazione indipendente dal tempo (13) otteniamo:

Hj=Ej (H è un operatore ed E un autovalore)

Quindi le funzioni stazionarie y(x,t)=j(x) sono delle autofunzioni (autostati) dell'operatore energia H.

evoluzione del sistema a partire da uno stato iniziale

Vogliamo vedere come dall'equazione di Schrödinger, noti gli autostati di H e lo stato del sistema ad un certo istante, è possibile ricavare come evolve questo stato in tempi successivi^[1].

Determiniamo l'evoluzione nel tempo di un'autostato: supponiamo che y_A(x,t₀)=j(x) sia un'autofunzione di H con autovalore E_A. All'istante t₀ varrà l'equazione di Schrödinger:

T

Se ora deriviamo rispetto al tempo ambo i membri dell'equazione di Schrödinger^[2] otteniamo:

  T

Ripetendo l'operazione si vede che:

Conoscendo tutte le derivate di y_A(x,t) possiamo risalire alla funzione mediante lo sviluppo di Taylor:

Possiamo concludere allora che le autofunzioni di H, al variare del tempo, sono del tipo  ovvero con la dipendenza dal tempo in un fattore di fase.

Ora, poiché sappiamo che esse costituiscono una base per lo spazio vettoriale delle y(x,t) (sempre ad ogni istante fissato), avremo che lo stato del sistema rispetto all'energia (operatore H) sarà descritto da una y(x,t) esprimibile mediante combinazione lineare degli autostati:

Abbiamo supposto che gli autostati siano in corrispondenza coi numeri interi (insieme discreto) ma potrebbe anche essere che siano in corrispondenza coi reali (insieme continuo), nel qual caso la sommatoria diventa un integrale.

Inoltre in realtà i c_k(t) sono costanti perché deve valere il principio di sovrapposizione, cioè se all'istante t₀:

per tempi successivi t i vari autostati y_k(x,t) evolvono in maniera indipendente secondo la legge:

Ne segue che:

   (

Dunque conoscendo lo stato iniziale di un sistema e le autofunzioni relative all'operatore H, è possibile ricavare l'evoluzione del sistema nel tempo sfruttando la ( (i coefficienti c_k si calcolano mediante la (3) ).

Facciamo notare che questi principi rappresentano una generalizzazione di quanto detto a proposito della interpretazione probabilistica della esperienza di diffrazione. In tal caso il dispositivo rappresenta il mezzo per produrre lo stato sovrapposizione. Questo stato può essere ricostruito come sovrapposizione di stati in cui la particella ha attraversato una delle due fenditure. L'interferenza però si rivela solo se non si è eseguito precedentemente una misura per determinare da che parte è passata la particella.

Le implicazioni di questi postulati sono notevoli specie per quel che riguarda il rapporto tra la fisica classica e la fisica quantistica.

Nel momento infatti in cui si opera una misura, si suppone un'interazione tra un sistema quantistico ed uno strumento di misura che a tuti gli effetti si comporta come soggetto a leggi classiche. Sembra cioè difficile concepire una realtà interamente quantistica e ciò non è soddisfacente dal punto di vista di una spiegazione fisica unitaria. Su questo punto si è sviluppata ed è tuttora in corso una ricerca che pone in luce i "paradossi" cui dà luogo una applicazione ingenua della meccanica quantistica a fenomeni macroscopici (il gatto di Schrödinger ad es.). Rinviamo per un approfondimento alla letteratura, limitandoci in questa sede ad illustrare la potenzialità dei principi senza entrare nella discussione delle difficoltà interpretative.

principio di indeterminazione e commutatore

Un sistema fisico può essere caratterizzato anche da più di una grandezza. Avremo quindi un insieme di operatori hermitiani. Alcuni saranno uno funzione dell'altro (es. posizione e posizione al quadrato) altri invece saranno indipendenti; in questo caso nasce il problema di quali tra queste grandezze possano essere misurate con precisione indipendente. A tale proposito vale il seguente teorema:

Due grandezze si possono misurare con precisione indipendente se gli operatori a e b, associati ad esse, còmmutano; altrimenti le incertezze con cui possono essere misurate sono legate da una relazione di indeterminazione.

Individuiamo le incertezze con cui sono definite le grandezze nel modo seguente:

D a=<(a <a>)²> D b=<(b <b>)²>

Se il commutatore[3] tra gli operatori a e b è pari a g, ove g può essere un numero complesso o in generale un operatore:

a b ab ba g

La relazione di indeterminazione che lega le incertezze associate alle grandezze è:

D aD b (

Ad esempio, nel caso della posizione e della quantità di moto, è semplice verificare che il commutatore vale:

[x,p]=i  (

infatti se si considera l'azione del commutatore su di una qualsiasi funzione y(x) si ottiene che tale azione è equivalente alla moltiplicazione della funzione stessa per :

[x,p]y(x) =

Utilizzando la (7) nella ( con a=x e b=p si ottiene la citata relazione di indeterminazione di Heisenberg.

Dimostriamo ora la (6) nel caso generale:

Possiamo introdurre degli operatori associati agli scarti dal valor medio:

Da a <a>   e Db b <b>

E' immediato dimostrare che tali operatori soddisfano la stessa regola di commutazione degli operatori originali: [Da Db g a b

Si consideri ora un operatore

d Da + ilDb con l reale

Lo stato che si ottiene dalla applicazione di d ad un qualsiasi elemento dello spazio vettoriale è ancora un elemento dello stesso spazio perché è dato da una combinazione lineare di operatori anch'essi chiusi rispetto allo spazio vettoriale. Esso avrà quindi norma finita e semidefinita positiva cioè:

dy_A y_B con y_B y_Bdx < e

Esplicitando quest'ultimo integrale otteniamo:

dy_A dy_Adx = y_A d dy_Adx = <d d>

Ora, sappiamo che d d Da ilDb quindi^[4]

d d Da l Db + il DaDb DbDa Da l Db +il a b

Dunque:

<d d> = <Da > + l <Db > + l<i[a b]>

Questa è una disequazione in l del tipo al +bl+c 0. Icoefficienti sono reali perché si può dimostrare che il quadrato di un operatore hermitiano è ancora hermitiano (quindi il suo valor medio è reale) e anche <i[a b]> è reale perché in generale si può dimostrare che i[a b] è hermitiano.

Dunque se supponiamo che a = <Db > >0 la disuguaglianza sarà verificata se il discriminante D=b² 4ac 0. E allora dovrà essere:

e cioè D aD b .

concetto di insieme rappresentativo e autostati simultanei

Vogliamo introdurre il concetto di insieme rappresentativo.

L'insieme rappresentativo è costituito dal massimo numero di stati osservabili indipendenti che si possono misurare con precisione indipendente, ovvero che commutano tra di loro. Ad esempio l'insieme rappresentativo di una particella in moto sull'asse x e soggetta ad un campo di forze U(x) è costituito da una sola grandezza, sia essa la posizione, la quantità di moto o l'energia. Sono queste infatti le grandezze fisiche associate al sistema; sono tutte indipendenti ma non commutano tra di loro.

Nel caso di un insieme rappresentativo costituito da più di una grandezza il principio di sovrapposizione si applica in maniera peculiare; infatti siano a b le grandezze indipendenti commutanti tra di loro. Una misura ripetuta di b porta a ricostruire lo stato come combinazione lineare di autostati di b . Su ciascuno di questi autostati è fissato il valore di b (ulteriori misure darebbero sempre lo stesso valore per b) ma non sappiamo quanto vale l'altra grandezza. La stessa cosa succede se misuriamo prima a

Dopo entrambe le misure il sistema si riduce ad un autostato di entrambe le grandezze. Tale autostato viene detto autostato simultaneo delle due grandezze fisiche.

Esiste un teorema che afferma che condizione necessaria e sufficiente affinché due grandezze fisiche abbiano un insieme di autostati simultanei è che le due grandezze commutino tra di loro. Se gli autostati ed autovalori di a b si possono mettere in corrispondenza con i numeri interi possiamo esprimere quanto detto nel modo seguente:

Se y_nm(x,t) è l'autostato simultaneo di a e b avremo:

ay_nm a_ny_nm e by_nm b_my_nm

Se f_k e x_k sono gli autostati di a e b, il principio di sovrapposizione si scriverà:

I coefficienti c_nm possono essere interpretati pensando che |c_nm|² è la probabilità che si verifichi l'autostato y_nm(x) ovvero che effettuando una misura di a e di b si ottengano i valori a_n e b_m

Per analogia con la probabilità condizionata, possiamo introdurre dei coefficienti a_n,m e b_n,m in modo tale che il loro modulo quadro rappresenta la probabilità di osservare un certo autovalore a_n (b_m) avendo già misurato sullo stesso stato b_m (a_n

Quindi:

    e

Per analogia con la probabilità condizionata anche qui vale:

c_nm = a_na_n,m = b_mb_m,n

operatori unitari, operatore di traslazione spaziale

Sono degli operatori che mantengono il prodotto scalare, cioè se U è un operatore unitario, si ha:

(Uy_A,Uy_B Uy_A(Uy_B)^*dx = = (y_A,y_B

Questo comporta che U⁺U=I, dove I è l'operatore identità. Dunque deve essere U⁺=U , dove U è l'operatore inverso, definito come quell'operatore tale che U U=I.

Un esempio di operatore unitario è:

dove x₀ è una costante reale e p l'operatore quantità di moto^[6]

Si ha che   T U⁺U=I.

L'esponenziale di un operatore è definito attraverso il suo sviluppo in serie:

   (

Ora, se calcoliamo y(x₀) considerando x₀ variabile e sviluppandola in serie di Taylor di punto iniziale x otteniamo:

Per cui:

che è la (8), quindi in definitiva si ha:

Possiamo allora identificare questo operatore come un operatore di traslazione.

Se consideriamo l'equazione agli autovalori dell'Hamiltoniana ed applichiamo un operatore unitario ad ambo i membri ed introduciamo un U⁺U:

UHj_n(x) = UH(U⁺U)j_n(x) = E_nUj_n(x)

Possiamo riscrivere il tutto introducendo    e j'_n(x)=Uj_n(x) :

Ovvero, se applichiamo un operatore unitario ad un autostato, otteniamo un nuovo stato che è autostato di una nuova hamiltoniana con lo stesso autovalore.

Se lo stato si trasforma con U, l'hamiltoniana si trasforma con U e U⁺.

operatori di simmetria

Un altro esempio importante di operatori unitari sono gli operatori di simmetria.

In generale, quando c'è una simmetria nel sistema, si introduce un operatore che applicato alla y(x) restituisce la sua simmetrica. In questo modo le funzioni che hanno quella simmetria saranno autofunzioni dell'operatore di simmetria.

Per esempio, se consideriamo l'operatore parità P, tale che applicato ad una funzione restituisce la stessa calcolata in x:

Py(x) = y(-x)

Le funzioni pari (e anche quelle dispari) saranno autofunzioni di P, infatti per esempio:

Px² = (-x)² = x² T x² è autofunzione di P con autovalore 1

Invece x è autofunzione con autovalore

Se il sistema gode di una certa simmetria relativa all'operatore P, per esso deve valere  perché gli autostati di H dovranno anch'essi avere la stessa simmetria e quindi gli autostati trasformati con P dovranno avere gli stessi autovalori di quelli non trasformati (ovvero dei loro simmetrici).

Affinchè ciò avvenga, H deve commutare con P, infatti se [H,P]=0 ovvero PH HP=0, ovvero PH=HP, si avrà che.

Un esempio di tale fenomeno è fornito dalla buca infinita. C'è una simmetria del problema rispetto al centro della buca e pertanto si può introdurre un operatore parità P che commuta con l'operatore energia. Quindi ogni soluzione è un autostato simultaneo di H e P.

Ciò significa che se effettuiamo una misura di H otterremo un sistema che è una combinazione lineare di due autostati di P, uno pari e uno dispari. Viceversa, se misuro prima P ottengo uno stato che è sovrapposizione di stati tutti pari o tutti dispari.

Riferendoci alle ampiezze di probabilità condizionate, se misuriamo prima l'energia e poi la parità abbiamo:

b_+|2m=0 , b _|2m=1 e b_+|2m+1 =1 , b _|2m+1 con m=1,2,3 .

Ovvero, se misuriamo un'energia corrispondente ad un valore di n pari (n=2m) otteniamo poi con certezza un autovalore 1 (indicato col pedice ) per la successiva misura dell'operatore parità (ovvero una funzione dispari) e viceversa se misuriamo un energia E_2m+1.

Se invece misuriamo prima la parità e poi l'energia, possiamo scrivere:

b_2m+1! e b_2m!+=0

Per quanto riguarda le altre ampiezze, esse possono in generale essere tutte diverse da zero. In tal caso si dice che il sistema presenta una degenerazione rispetto alla parità e non rispetto all'energia. Fenomeni di degenerazione sono presenti in molti altri casi e sono legati ad interessanti fenomeni fisici come cercheremo di discutere in seguito.